Методика алгебры в XIX веке


вернуться в оглавление книги...

А. В. Ланков. "К истории развития передовых идей в русской методике математики"
"Учпедгиз", Москва, 1951 г.
OCR Biografia.Ru

Текстовая версия книги приведена с некоторыми сокращениями и не содержит иллюстраций, ссылок и т. д. Скачать книгу целиком Вы сможете в нашей "DjVu-библиотеке"

продолжение книги...

МЕТОДИКА АЛГЕБРЫ В XIX ВЕКЕ

Факторы, задерживавшие развитие методики алгебры


В области преподавания арифметики Россия в XIX в. создала свою передовую методическую школу, далеко опередив в этом смысле западноевропейскую школу. По геометрии во второй половине века определились значительные сдвиги, были намечены линии большой прогрессивной работы и заложены основы методики. Алгебра как дисциплина более абстрактная оказалась в сильной зависимости от формально-схоластических тенденций, которые господствовали в органах министерства народного просвещения, являясь отражением реакционной политики царского правительства.
Программы курса алгебры в первой половине XIX в. поражают своей громоздкостью. В Морском корпусе после деления дробей идёт «разложение дробей в строки»... Действия над корнями содержат такие упражнения: «извлечение квадратного корня из многочлена», «извлечение корня кубичного и высшей степени из многочлена», «разложение несоизмеримых корней в строки», «извлечение квадратного корня из бинома». Затем проходятся действия над мнимыми количествами. После логарифмов помещены «непрерывные или цепные дроби», которыми заканчивается первая часть алгебры. Уравнения (первой степени, квадратные и высших степеней) отнесены ко второй части. Кубичные уравнения решаются тремя способами: по формуле Кардана, по делителям последнего члена и по приближению. Во второй же части проходятся арифметическая и геометрическая прогрессии.
Таким образом, первая часть алгебры, носящая исключительно формальный характер, целиком отводится «Задачам алгебраического языка». Почти такой же материал содержит и программа гимназий.
Рукопись «Алгебра Н. И. Лобачевского», представленная в сентябре 1825 г. физико-математическим отделением Казанского университета попечителю учебного округа «для введения оной в употребление в гимназиях», содержит в «счёт непрерывных дробей» (гл. VIII), и «неопределённые уравнения» (гл. X «значение неизвестного в целых числах»), и «степени и корни воображаемые» (гл. XII), и «логарифмы» (гл. XIV).
«Начальная алгебра» А. Давидова, первое издание которой вышло в 1866 г., содержала следующие статьи, большая часть которых исключена из программ гимназий лишь в 1890 г.: разложение иррационального квадратного корня в непрерывную дробь, извлечение кубического корня из алгебраических выражений; распространение бинома Ньютона на показатели отрицательные и дробные, уравнения 3-й и 4-й степеней, неопределённые уравнения со многими неизвестными, неопределенные уравнения 2-й степени, некоторые предложения о числах и рядах, логарифмические строки, разложение в ряды по способу неопределённых коэффициентов.
Учёный комитет, составлявшийся всегда из наиболее реакционных представителей педагогического мира, стремился насаждать тяжеловесность формул, трудность изложения, искусственность приёмов, нежизненность задач. Тщательно изгонялись из программ приложения математики к жизни. Целью алгебры ставятся «способы, посредством которых можно одно алгебраическое выражение преобразовать в другое, тождественное ему». Алгебра совершенно игнорирует функции, даже уравнения попадают в положение каких-то рудиментарных органов... Эти формалистические тенденции шли в Россию из Западной Европы: прототипом наших учебников алгебры был учебник алгебры француза Бертрана, застой и рутина в алгебре отчасти объясняются и тем обстоятельством, что эта дисциплина не была связана с народной школой, которая всегда питалась более передовыми методическими идеями, так как имела более демократический состав преподавателей, получивший притом подготовку в педагогических учебных заведениях, в стенах которых, как мы видели, создавалась новая методика. Не случайно, конечно, вопрос о пропедевтическом курсе алгебры поставлен на очередь лишь в советский период.

Учебное пособие по алгебре Н. И. Лобачевского

Великий русский геометр с успехом преподавал математику в гимназии и, кроме учебника геометрии, создал учебное руководство по алгебре, характеризующее его, как глубокого педагога-новатора.
В 1825 г. Н. И. Лобачевский представил в Казанский университет рукопись «Алгебра», которая, согласно предисловию, предназначалась в качестве учебника алгебры для гимназий. Рукопись не была напечатана, так как автор изменил намерение, решив увеличить её объём и дать книгу, которая «будет служить руководством для учителей и учебной книгой для слушателей в университете». В этом виде она и вышла в свет в 1834 г. под заглавием «Алгебра или вычисление конечных». Рукопись учебника «Алгебры» состоит из 14 глав, в книге —17 глав; первые 13 глав книги содержат материал рукописи.
«Предисловие» к рукописи, а также «Наставления учителям математики в гимназиях» излагают взгляды автора на содержание, построение и методы преподавания курса алгебры.
«В постепенном развитии понятий и в уменье не допускать, чтобы одно изучение на память общих правил и механическое исчисление заменяли суждение, заключается искусство преподавания и успех его»,— говорит Н. И. Лобачевский в «Наставлении». Эти замечательные мысли для первой четверти XIX в. были откровением. Работа над формированием математических понятий является и в настоящее время одним из труднейших вопросов методики.
Материалистическая основа его педагогических концепций отчётливо вскрывается в «Наставлении»: «Математическим наукам,— говорит он,— служат те первые понятия, которые мы получаем в природе прямо чувствами; даже первые наши суждения о предметах, составляющих эти понятия, заключаются более в чувствах по навыку, нежели в действии ума».
Проблема образования понятий особенно остро стоит в алгебре, отличающейся от всех других математических предметов исключительной абстрактностью. Как же Н. И. Лобачевский разрешает этот вопрос в своём учебнике?
В «Предисловии» автор замечает, что «Новая книга начал математики не должна напрасно умножать число существующих, потому что их и без того уже много». Однако читателю довольно слегка пробежать мою «Алгебру», чтоб открыть в ней большое различие со всеми, изданными до сих пор».
В учебнике Н. И. Лобачевский отражает опыт своей работы в Казанской гимназии: «Два года читается алгебра в Казанской гимназии под моим руководством,— продолжает он,— и в последнее время я имел всю причину восхищаться успехами детей. Видел, что они тверды в правилах, понимая всё, совершенно уверенные в своих знаниях».
Первые семь глав «Алгебры» отличаются от современных ей учебников (не только русских, но и западно-европейских) систематическим изложением правил основных арифметических операций, вводимых формально. Это шаг к аксиоматическому курсу алгебры. 8-я глава излагает непрерывные дроби; в последующих главах даны уравнения и логарифмы. Таким образом, «Алгебра» Н. И. Лобачевского является «опытом» пост роения научного учебника. Без введения пропедевтического курса алгебры такой учебник вряд ли был посилен для учеников гимназий и успехи Н. И. Лобачевского в преподавании скорее всего объясняются его высокими личными преподавательскими качествами.
В «Обзоре сочинения «Алгебра или вычисление конечных» редактор тома покойный Н. Г. Чеботарёв справедливо замечает: «Лобачевский первый опубликовал в России курс высшей алгебры; книга его очень оригинальна и в своё время, несомненно, являлась выдающимся событием в математической литературе».

А. Н. Страннолюбский

В первой половине XIX в. вопросы методики алгебры не ставились. Движение за реформу программ и методов преподавания алгебры началось в 60-е годы в связи с общим подъёмом общественного самосознания. Наметились следующие вехи в работе: 1) установление цели преподавания алгебры, содержания курса школьной алгебры и требований к учебникам; 2) обсуждение методов перехода от арифметики к алгебре; 3) включение в курс алгебры понятия функции и 4) оздоровление алгебраических задачников.
Новое направление в преподавании алгебры стремится создать петербургский педагог — преподаватель Морского кадетского корпуса А. Н. Страннолюбский.
Александр Николаевич Страннолюбский родился в 1839 г. на Камчатке, где его отец был начальником области. Образование получил в Петербургском Морском корпусе и затем в его офицерских классах (впоследствии Николаевская морская академия). С 1867 г. по 1894 г. преподавал математику в Морском училище.
А. Н. был одним из передовых и образованных педагогов своего времени. С конца 60-х годов он примкнул к движению, направленному на улучшение женского образования, участвовал в составлении плана высших педагогических женских курсов и в течение ряда лет состоял их преподавателем. В качестве домашнего учителя давал уроки математики С. В. Ковалевской.
В 1868 г. он выпустил книгу «Курс алгебры», основанный на постепенном обобщении арифметических задач (дидактические указания для преподавателей начальной алгебры), 134 стр. Мысли, которые проводит в ней А. Н. Страннолюбский, знаменуют новую эпоху в преподавании алгебры, создают направление, до которого ещё не дошла западноевропейская школа. Это первая методика алгебры в России. Печатая эту книгу журнал «Учитель» снабдил её характерным предисловием: «Помещаем в «Учителе» этот курс алгебры по глубокому нашему убеждению, что принятый в общеобразовательных заведениях способ преподавания её и геометрии есть одно из величайших безобразий теперешней системы обучения».
Обобщение задач, по Страннолюбскому, проходит через три ступени.
Первая ступень — «Задачи, тождественные по условиям, роду данных и вопросу, но отличающиеся одни от других численною величиною данных. Рассмотрение таких задач приводит к первому обобщению, результатом которого являются общие решения, выражаемые буквами с каким-нибудь наименованием» (стр. 8).
Вторая ступень — «Задачи, различные между собою условиями и родом данных, но одинаковые по численной величине и притом такие, что поставленный в конце их вопрос и содержащиеся в них условия приводят для отыскания неизвестного к одной и той же совокупности действий над одинаковыми отвлечёнными числами».
Третья ступень — «Задачи, различные по условиям, роду и величине данных, но приводящиеся к одной и той же совокупности действий над данными».
Автор располагает материал последовательно, по урокам: 1) запись решения произвольными значками с наименованиями; 2) замена произвольных значков буквами; 3) сложение; 4) вычитание; 5) употребление скобок; 6) значение коэффициента; 7) понятие о многочленах; 8—9) подобие одночленов; 10) сложение многочленов и т. д.
«Положительные и отрицательные величины» автор вводит в процессе решения уравнений 1-й степени и задач на составление этих уравнений. Он протестует против догматического изложения теории относительных чисел и указывает, что отрицательным и положительным числам нет правильного истолкования вне обобщений (стр. 112). Действия над относительными числами он объясняет конкретно-индуктивным методом, широко применяя движение. Правило умножения, например, он вырабатывает на такой задаче: «Паровоз, идущий равномерно со скоростью V вёрст в час, проходит мимо станции В ровно в полдень. На каком расстоянии будет этот паровоз от другой станции А, отстоящей от В на а вёрст». Рассматриваются 4 случая (стр. 130). Этот метод, подробно разработанный через 40 лет после А. Н. Страннолюбского, широко применяется в наше время.
Название книги А. Н. Страннолюбского говорит о том, что автор арифметические задачи ставит в качестве исходного момента при изложении всего отдела тождественных преобразований. Из задач он стремится получить все формулы алгебры (до алгебраических дробей включительно). Эта попытка, неосуществлённая и в наши дни, несомненно заслуживает особого внимания. Начало алгебры подавляет учащихся своей абстрактностью. Арифметика и геометрия заставляют учащихся жить в мире конкретных представлений. Алгебра переводит их в какой-то новый мир символов, за которыми первое время учащиеся не видят никакого конкретного содержания. Обычное изложение раздела тождественных преобразований представляет разительный пример психологически неоправданного формализма, который исчезает лишь в тот момент, когда изложение подходит к решению задач с помощью составления уравнений.
Плодотворная идея А. Н. Страннолюбского не нашла последователей. Причины нужно искать в её новизне, в том, может быть, что автор сам неудачно её изложил, не довёл до надлежащей ясности. Можно сказать без всякого преувеличения, что этой концепции принадлежит будущее, что только с её помощью можно преодолеть формализм, особенно характерный в изложении алгебры.
Большой заслугой А. Н. Страннолюбского является новый подход к изложению учения об относительных числах. До него действия над относительными числами или излагались догматически, или правила действий выводились примитивно на операциях с имуществом (+) и долгом (—), или, при выводе правила умножения, пользовались обобщённым определением.
А. Н. Страннолюбский вводит конкретно-индуктивный метод, связывая изложение с вопросом о движении точки по прямой.
Идеи передового педагога оказались слишком новыми и не привились на практике. Дальнейшее развитие они получили лишь в XX в.

В. А. Евтушевский

Вопрос об упрощении курса алгебры, о создании пропедевтического курса алгебры волновал передовых педагогов средней школы.
Одновременно с А. Н. Страннолюбским этим вопросом занимается В. А. Евтушевский, первая работа которого публикуется также в 1868 г.
Василий Андрианович Евтушевский (1836—1888) окончил Петербургский университет. В течение ряда лет стоял во главе преподавания математики в военных учебных заведениях. Много труда положил на устройство педагогического музея военно-учебных заведений в Петербурге.
Был учредителем многих педагогических учреждений: главный деятель на Аларчинских женских курсах, из которых потом развились Высшие женские курсы; один из основателей Андреевских курсов для подготовки учителей народных школ; активный член Петербургского педагогического общества и с 1879 г.— его председатель; инспектор учебной части совета детских приютов.
С конца 60-х годов читал систематические лекции для учителей. Блестящая эрудиция В. А. привлекала всегда многочисленную аудиторию. С 1877 г. по 1882 г.— один из редакторов журнала «Народная школа». Талантливый популяризатор метода Грубе, внесший в него свои коррективы.
«Сборник арифметических задач» Евтушевского выдержал более 30 изданий — свыше миллиона экземпляров. Свои взгляды на преподавание начальной алгебры В. А. Евтушевский подробно излагает в специальном методическом труде. Курс, который строят авторы, делится на две части. Первая часть ставит задачу введения «алгебраического языка»; переход к буквенным обозначениям от числовых формул задач, обобщение решения задач с элементарными тождественными преобразованиями.
Вторая часть отводится уравнениям. Понятие уравнения авторы также связывают с понятием задачи. «Уравнение есть равенство, выражающее содержание задачи»,— говорят они. Для пропедевтического курса подобная трактовка уравнения является методически целесообразной. На первых шагах алгебры нельзя допускать, чтобы уравнения существовали отдельно от задач. Отделение уравнения от задачи поведёт к формалистическому построению курса.
Авторы делают попытку элементарной классификации задач, приводящих к составлению простейших уравнений, доступных для учащихся на этой ступени, связь упражнений на усвоение «алгебраического языка» с задачами приводит их к мысли о педагогической ценности решения задач с буквенными данными.
Работы В. А. Евтушевского постигла та же участь, что и работы А. Н. Страннолюбского. Они не соответствовали официальному направлению преподавания. «Учёные комитеты насадили у нас культ другой учёности, тяжеловесной и замысловатой, стремящейся к полноте изложения, к блеску искусственных приёмов», говорит А. Н. Шапошников.
Свежие и оригинальные идеи передовых педагогов шли в разрез с формалистическими тенденциями преподавания, не были освящены европейскими авторитетами и потому двери казённой школы для них были закрыты.

П. Л. Чебышев

Имя Пафнутия Львовича Чебышева (1821—1894) как создателя русской школы теории чисел, как великого русского математика мирового значения хорошо известно во всех культурных странах. Он не работал в средней школе, не создавал учебников, однако его значение в методике элементарной математики было исключительно велико.
С 1856 г. в течение 17 лет П. Л. Чебышев состоял членом учёного комитета министерства народного просвещения, представляя в нём наиболее прогрессивную, научную, свежую педагогическую мысль, независимую от реакционной политики правительства. Через учёный комитет проходили рукописи всех учебников, предназначавшихся для школы. В качестве рецензента П. Л. Чебышев просмотрел более 200 учебников. Его отзывы были исключительно содержательны и строги. О требованиях, предъявляемых П. Л. к учебнику, можно судить по проекту объявления о конкурсе на учебники, которое было им составлено по поручению учёного комитета:
«При изложении означенных руководств,— говорит он,— должно быть обращено особое внимание на ясность и определительность выражений, на устранение таких оборотов речи, при которых является возможность различного понимания смысла. Все объяснения должны быть вполне строги, без излишних подробностей и с крайне осмотрительным употреблением слов: «очевидно», «само по себе», «понятно» и т. п., которые нередко употребляются авторами там, где доказательства представляют особые затруднения».
В своём объяснении на жалобу П. А. Полякова, учебник которого был отклонён, П. Л. писал: «Если что-либо не может быть строго доказано, необходимо это прямо сказать ученикам, а не вводить в заблуждение, предлагая им нестрогое доказательство».
Борьба за создание доброкачественного, независимого от иностранных влияний учебника по математике — главная заслуга П. Л. Чебышева. Им были одобрены такие учебники, как «Руководство алгебры» Малинина и Буренина, «Начальная алгебра» Пржевальского, пользовавшиеся в своё время заслуженной известностью.
В 1858 г. П. Л. Чебышев составил проект программы по математике для гимназий. Он предполагал ввести в курс гимназий основы аналитической и начертательной геометрии и некоторые разделы математического анализа. После 6-летнего обсуждения победило «классическое направление», в результате чего курс математики в гимназиях остался в прежнем сокращённом объёме.
В 1857 г. П. Л. Чебышев составил программы с методическими указаниями для уездных училищ. В методических указаниях он особое внимание отводит доказательной форме изложения математики и обращает внимание на роль задач при изучении теории.

В. П. Ермаков

Плодотворная идея включения функциональной зависимости в изложение алгебры начала обсуждаться лишь в 90-х годах. Обычные определения школьной алгебры и формулировка её задач были далеки от идеи функциональной зависимости. «Наука, занимающаяся составлением общих решений различных задач и вообще решением вопросов относительно чисел в общем виде», называется алгеброй (Малинин и Буренин «Руководство» 1875).
В «Начальной алгебре» А. Давидова (1866) читаем: «Алгебра учит рассуждать о величинах, при этом она изображает их буквами и обозначает особыми знаками зависимости между ними». В «Элементарной алгебре» А. Киселёва (1888) находим: «Алгебра прежде всего указывает способы, посредством которых одно алгебраическое выражение может быть преобразовано в другое, тождественное ему».
Чуткий педагог и глубокий математик, киевский профессор В. П. Ермаков подходит к определению алгебры в сущности так же, но лишь конкретизирует его. Решив одну и ту же арифметическую задачу двумя способами, он делает вывод: «Ряд одних действий над какими бы то ни было числами может быть заменён рядом других действий над тем и же числами» и далее продолжает: «Алгебра даёт правила для замены одних действий рядом других действий над теми же числами».
Брошюра В. П. Ермакова (2 печ. листа) — третья методическая работа о преподавании алгебры в России. Вопрос о цели автор ставит узко, в этом отношении его взгляды ничем не отличаются от направления популярных учебников. Но во многом другом В. П. Ермаков резко расходится с господствующими взглядами представителей формалистической школы. Отмечая большую неуспеваемость по алгебре, он категорически протестует против утверждения, «что алгебра есть символическая наука, доступная только избранным натурам». Причиной неуспеваемости он считает «плохое преподавание». Только оно, по его мнению, «служит единственною причиною деления учеников на способных и неспособных к математике».
Прежде всего автор делает «несколько замечаний о преподавании вообще». Эти замечания интересны и характеризуют В П. Ермакова, профессора-математика, представителя абстрактной науки, как глубокого педагога. «Педагогическая литература,— говорит он,— основана на чистом умозрении без участия опыта и наблюдения... Необходимы наблюдения над детьми в семье и школе». Мысль для начала 90-х годов звучит смело. К. Д. Ушинского реакция в это мрачное время считала сданным в архив. Далее: «При правильной постановке учебного дела не должно быть неуспевающих учеников». Развивая этот тезис, автор идёт в разрез с реакционным направлением науки того времени. «Не доказано,— говорит он,— чтобы дети рождались с различными способностями... Если же в школьном возрасте мы замечаем у детей различные способности, то нельзя ли подобное явление объяснить неизвестными нам причинами, оказывающими своё влияние на детей уже после появления их на свет?» Дело психолога дать ответ на этот вопрос, но если дети действительно рождаются с различными способностями, то «священный долг педагога состоит в том, чтобы исправить природные недостатки». Не менее резко В. П. Ермаков нападает и на математический формализм и логизм. «На математическую науку до сих пор смотрят, как на своеобразную символическую науку, имеющую свой особый язык, особую логику и особую грамматику... Такое мнение ложно»,— утверждает он. «В настоящее время, математика в высшем своём развитии удалилась от практических потребностей жизни и прикладных наук».
Указав некоторые отрицательные стороны математики, перед которыми он не считает нужным преклоняться, автор делает дидактический вывод: «Теория должна быть доведена до минимума, учебники должны быть кратки».
«Я противник тяжеловесных немецких учебников»,— говорит он. «Дав другие определения и условия, мы можем получить многие отделы математики в новой форме, отличной от теперешней... Необходимо теорию алгебры довести до возможной краткости и простоты».
Принципиальные установки В. П. Ермакова настолько новы, что и в наше время над ними следует серьёзно задуматься. А в реакционные 90-е годы это был гром при ясном небе.
Работа была замечена прогрессивной педагогической мыслью. Отклик на неё даёт С. И. Шохор-Троцкий. «Назидательным,—-говорит он,— кажется нам тот факт, что В. П. Ермаков, столь счастливо соединивший в себе звание профессора с правом на признание за ним крупных учёных заслуг, не только не относится сколько-нибудь презрительно к педагогике и методике преподавания, но даже некоторым образом берёт эти дисциплины под своё покровительство».
С. И. Шохор-Троцкий, не соглашаясь с некоторыми частными вопросами построения методики, отмечает «способность автора смело смотреть правде в глаза», его «искренность и нелицеприятность в вопросах математического образования».
Переходим к методическим тезисам В. П. Ермакова. «Математика,— говорит автор,— состоит из положений, условий, определений и задач. Положение или теорема есть неизменная истина в науке. Условие есть то, что зависит от нашего произвола» (стр. 18).
В основу алгебры автор кладёт 18 положений, 2 условия и 7 определений. Условия устанавливают порядок действий. Определения относятся к следующим понятиям: член, многочлен, вычитание, отрицательное число и др. Дальше идут положения: 1) переместительный закон суммы; 2) результат сложения и вычитания нескольких чисел не изменится, если переставим числа вместе с их знаками; 3) последовательное вычитание нескольких чисел можно заменить вычитанием их суммы и т. д. Правила действий с относительными числами он «выводит», распространяя правила арифметики на отрицaтельные двучлены и многочлены...
На этом, к сожалению, кончаются методические соображения В. П. Ермакова.

В. П. Шереметевский

С именем московского педагога В. П. Шереметевского связывается новый этап в развитии методики алгебры.
В 1893 г. с рефератом на тему о реформе преподавания математики выступает в Петербурге Сердобинский, поставивший тезис о необходимости включения идеи функциональной зависимости в элементарную математику. В 1895 г. этот вопрос приобретает уже общественный интерес: ему уделяет внимание журнал «Русская мысль», являющийся «ежемесячным литературно-политическим изданием», рассчитанным на широкий круг читателей. В журнале помещается статья, обосновывающая необходимость реформы.
Выступление автора статьи было не случайным и не звучало как мнение прогрессивного педагога-одиночки. Как видно из примечаний 27 и 29 к статье, вопрос о реформе возник ещё в 1892 г. в Московском обществе распространения технических знаний, где произошли оживлённые прения в связи с предложением «произвести в курсе математики нашей средней школы целый ряд сокращений с целью очистить его «от веками накопившегося мёртвого груза». Обсуждение закончилось принятием постановления «о дополнении среднеучебного курса» элементами высшей математики, «причём сообщён был и набросок программ».
Так началось движение за реформу преподавания математики в России.
В своей статье В. П. Шереметевский заявляет: «Какое бы мировоззрение ни лежало в основе наших отношений к природе, сущность процесса мировой жизни выразится основным понятием — изменения... Если вся математика есть в сущности учение о функциях, то ясно, что и элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия о функциональной зависимости». Эти мысли почти в тех же выражениях высказывает через 9 лет немецкий математик Ф. Клейн на конференции в Бреславле в 1904 г. в своём докладе «О преподавании математики и физики».
В 1898 г. появляется большая работа В. П. Шереметевского, в которой автор конкретизирует вопросы реформы. Из примечаний на странице 2 работы можно видеть, что выступление в «Русской мысли» принадлежит тому же автору. «Так как понятие о функции,— говорит он,— несмотря на его первенствующее значение, до сих пор не получило общепризнанного права гражданства в области элементарной математики, то приходится прежде всего позаботиться о выяснении его» (стр. 9).
Автор определяет математику как учение о функции (стр. 11) и приводит многочисленные примеры выяснения явлений природы с помощью учения о функциях.
Выделение «высшей» математики он считает случайным, обусловленным лишь преходящими традициями. «Лишь отрывочность», исключительная отсталость средне-учебного курса математики породили эту своеобразную терминологию; мы не встречаем её в других предметах... Ни в одном предмете средней школы учащийся не остаётся в такой мере отчуждённым от существенного содержания главного нерва науки, как в математике» (стр. 3).
Таким образом, инициатором движения за реформу преподавания математики, в частности, алгебры, на функциональной основе является Россия и имя В. П. Шереметевского и его работы составляют одну из замечательных страниц методики алгебры. Идеи В. П. Шереметевского претворяются в жизнь в трудах К. П. Лебединцева и других педагогов начала XX в.

Новые течения в методике алгебры

Начало нового века внесло существенные коррективы в преподавание алгебры. Передовая педагогическая мысль признала, что в курс алгебры должны быть включены: идея переменной величины, понятие функции, изучение процесса изменения простейших функций и графический метод изображения функциональной зависимости.
Учебная литература XIX в. (Давидов, Пржевальский, Шапошников, Киселёв — до 23-го издания и др.) не признавала этих идей. Учебники держались формального изложения курса.
В XX в. появляются учебники нового типа, стремящиеся восполнить основной недостаток преподавания алгебры. К ним относятся книги Лебединцева, Глаголева и Левитуса.
К. Ф. Лебединцев (1878—1925) по окончании Киевского университета в 1900 г. работал преподавателем математики в Киевских учебных заведениях и на высших женских курсах Л. В. Жекулиной. В годы реакции, после подавления первой революции 1905 г., К. Ф. привлекается к суду по обвинению в том, что на педагогических советах и в заседаниях педагогического общества требовал амнистии ученикам, принимавшим участие в политической забастовке. Генерал-губернатор Сухомлинов и попечитель учебного округа Зилов принуждают К. Ф. Лебединцева прекратить работу в Киеве. С 1909 г. по 1916 г. К. Ф. преподаёт в одном из лучших частных учебных заведений г. Москвы — гимназии Е. А. Кирпичниковой.
В 1916 г. либеральный министр граф Игнатьев назначает К. Ф. Лебединцева окружным инспектором Петроградского учебного округа и включает в работу по реформе средней школы.
В 1917 г. Лебединцев избирается председателем педагогического совета частной женской гимназии нового типа М. X. Свентицкой в Москве. После Великой Октябрьской социалистической революции он привлекается консультантом при отделе реформы школы Наркомпроса.
В 1919 г. К. Ф. Лебединцев возвращается в Киев, читает курс математики на украинских педагогических курсах и затем с 1921 г.— в Киевском институте народного образования. Одновременно он принимает активное участие в работе Наркомпроса Украины и в губернском отделе народного образования. Им составлены первый учебный план единой трудовой школы для Украины и первая программа по математике для 7-летней школы.
Учебники алгебры К. Ф. Лебединцева получили признание не только в России, но и за границей (переведены на польский и немецкий языки). Работа над ними продолжалась более 10 лет. Путём кропотливой и тщательной переработки автор добивался их усовершенствования.
В книгах К. Ф. Лебединцева параллельно развиваются понятие о числе и понятие о функциональной зависимости. Глава "Функции первого порядка и их наглядное изображение" помещается сразу же после уравнений и неравенств первой степени. За квадратными уравнениями идут «Функции второго порядка и их наглядное изображение». Автор стремится от абстрактно-дедуктивного изложения перейти к конкретно-индуктивному методу (действия над относительными числами). Наряду с этим даётся логически обоснованная теория иррациональных чисел. Формальное учение о логарифмах излагается на основе исследования показательной и логарифмической функций. Методические интересы К. Ф. Лебединцева не ограничивались вопросами алгебры. Ему принадлежит ряд книг по другим вопросам.
Своеобразен и «Сборник задач» К. Ф. Лебединцева. В нём меньше искусственных задач, отсутствуют громоздкие упражнения и задачи. Элементы исследования вводятся сразу же при решении задач с помощью составления уравнений 1-й степени.
«Элементарная алгебра» А. Н. Глаголева — объёмистый труд, около 800 страниц. Функциональная зависимость представлена подробно. Статья «Графики изменения алгебраических функций» предваряется подробным изложением элементов аналитической геометрии, учение об иррациональных числах дано по Дедекинду (А. П. Киселёв в 23-м изд. также приводит теорию Дедекинда — в приложении). Книга А. Н. Глаголева по изложению труднее курса алгебры К. Ф. Лебединцева.
Д. М. Левитус в своём «Курсе элементарной алгебры» даёт концентрическое расположение материала. Изложение популярное и менее строгое, чем у предыдущих авторов. В первом приближении к вопросу автор даёт иногда те или иные предложения совсем без доказательств; в других случаях доказательства заменяет разъяснениями и разбором примеров. При изложении учения об относительных числах геометрические интерпретации не применяются. Основные вопросы, связанные с выяснением понятия функциональной зависимости, излагаются в пяти главах, элементов аналитической геометрии не даётся.
Эти книги новы и оригинальны, содержат много свежего материала. К «реформистам» нередко предъявляется обвинение в разрушении строгости и даже научности изложения. В этом смысле все три автора стоят значительно выше своего французского собрата Э. Бореля.
В 1916 г. вышла методическая работа Лексина. Труд Н. Г. Лексина остался незамеченным, так как вышел небольшим тиражом в провинции, накануне резкого перелома всего школьного строя. В основном он отражает господствующие тенденции последнего периода, но идёт несколько дальше новых учебников. В нём широко представлены геометрические интерпретации, уделяется много внимания функциональной зависимости, графикам. Принципиально новым является «наглядно-лабораторное изучение некоторых алгебраических вопросов». В изложении первых глав алгебры автор идёт по стопам А. Н. Страннолюбского и В. А. Евтушевского, хотя, судя по «списку пособий», книга последнего Н. Г. Лексину не была известна. Исходным моментом построения урока он считает задачу и на обобщении арифметических задач проводит изложение начальных глав. Отрицательной особенностью книги является расплывчатость и многословность изложения.
Автор — большой противник некритического заимствования иностранных идей: «Индивидуальные качества русского народа,— говорит он,— привитием германских и вообще западноевропейских идей не уничтожаются, а только засариваются, покрываются пришлой чужеземной паутиной» (стр. 68). Он верит, что «природные качества русского народа разорвут и сбросят с себя эту закрывающую их паутину и предстанут во всём своём блеске и величии».
Мечты Н. Г. Лексина очень быстро начали претворяться в действительность. В Советской стране народ и педагоги строят новую школу, какой не видел мир.

Создание учебников алгебры

Вторая половина XIX в. характеризуется интенсивной работой по созданию учебников алгебры. В этот период создаются все наиболее популярные учебники: Г. Сомов «Начальная алгебра», 1860, А. Давидов «Начальная алгебра», 1866, Е. Пржевальский «Начальная алгебра», 1867; Ф. Бычков «Сборник примеров и задач», 1868, А. Малинин и К. Буренин «Руководство алгебры», 1875 и др.
В 60—80-е годы наибольшей популярностью пользуется «Начальная алгебра» Давидова, один из наиболее полных учебников (в изд. 15, 1906 г. он пересмотрен и значительно сокращён В. Ф. Найдёновым). «Преемником» книги Давидова является «Элементарная алгебра» А. П. Киселева, первое издание которой вышло в 1888 г. До Великой Октябрьской социалистической революции вышло 30 изданий книги Киселёва и в советский период — более 25 изданий. Общий тираж превышает 7 миллионов.
Учебник А. П. Киселёва по простоте и общедоступности изложения более соответствовал программам гимназий 1890 г., что и позволило ему вытеснить из средней школы книгу Давидова.
Уже в 5-м издании автору пришлось сделать дополнения; ввести неравенства 2-й степени, нахождение наибольшего и наименьшего значения трёхчлена 2-й степени. Особенно существенные изменения внесены в 23-е издание — под влиянием новых идей, развитых в работах Лебединцева, Глаголева и других авторов (дано новое изложение главы об отрицательных и положительных числах на основе индуктивного метода, понятие о несоизмеримых числах трактуется независимо от понятия предела, введено понятие функции и т. д.
Андрей Петрович Киселёв (1852—1940) является одним из популярнейших авторов учебников. Все его учебники перешли в советский период.
По окончании Петербургского университета в 1875 г. он преподавал математику в Воронежском и Харьковском реальных училищах до 1901 г. (в Харькове был лишь 2 года); затем вышел в отставку и всецело отдался литературной деятельности. В 1884 г. вышла его «Арифметика», в 1888 г.— «Алгебра», в 1892 г.— «Геометрия». Все эти книги печатались в миллионах экземпляров, издавались за границей.
В годы революции А. И. Киселёв преподавал математику в военных школах. В 1933 г. Советское правительство наградило его орденом Трудового Красного Знамени. «Я счастлив, что дожил до дней, когда математика стала достоянием широчайших масс»,— говорил А. П. перед своей смертью.
Для преподавателей вышла «Элементарная алгебра» Н. Н. Маракуева, ч. I, 1887, и ч. II, 1888 — один из наиболее полных и разработанных курсов, служивший «справочной книгой» в течение многих лет.
Задачник Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова вышел в 1887 г. под названием «Методический сборник алгебраических задач». До 1917 г. он выдержал 24 издания и в советский период — 28 изданий.
Были случаи составления учебников по иностранным образцам. Директор Петербургского реального училища Н. Билибин выпустил «Алгебру», использовав в качестве образца учебники Бертрана, Тодгентера и Комбетта (3-е издание, 1899 г.). Учёный комитет отметил её премией Петра I, но книга не пошла дальше 3-го издания. Вообще иностранная учебная литература была полностью вытеснена. Редкие издания иностранных учебников («Алгебра» Бертрана, 1885) почти не окупали себя.
В работу над учебниками широко включаются рядовые педагоги: А. Веребрюсов (Харьков 1889), П. Матковский (Киев 1890), В. Соколов (Остров 1892), К. Торопов (Пермь 1900), Д. Хмыров (Орёл 1891), Г. Юревич (Юрьев 1896), Б. Чиханов (Люблин 1899) и многие другие.

ЛИТЕРАТУРА

1. Н. И. Лобачевский, Том четвёртый, сочинения по алгебре, 1948.
2. А. Н. Страннолюбский, Курс алгебры, основанный на постепенном обобщении арифметических задач (дидактические указания для преподавателей начальной алгебры), 1868, стр. 134.
3. В. П. Ермаков, О преподавании алгебры, 1892.
4. Его же, Статьи в журнале «Педагогический сборник»; ненужные упражнения в алгебре, 1894. Педагогические ошибки в алгебре, 1893. В чём сущность алгебры, 1896.
5. В. П. Шереметевский, Математика как наука и её школьные суррогаты. «Русская мысль», 1895, май.
6. Его же, Очерк основных понятий, приёмов и метода математики как основа изучения природы, «Сборник статей в помощь самообразованию по математике, физике, химии и астрономии», вып. I, 1898.
7. В. А. Евтушевский, Пропедевтика алгебры, «Педагогический сборник», 1868.
8. В. А. Евтушевский и А. Глазырин, Методика приготовительного курса алгебры, 1876.
9. А. Н. Барсуков, Уравнения первой степени в средней школе, 2-е изд. 1949, приведена богатая библиография.
10. Н. Г. Лексин, Методика алгебры. Казань, 1916.
11. Е. Г. Гаркави, Учебники алгебры русской школы в XIX в., рукопись кандидатской диссертации, Москва, 1944.
12. Л. Н. Грацианская, Русская методика алгебры в XIX в., рукопись кандидатской диссертации, Москва, 1944.
13. Н. Д. Беспамятных, Научное и методическое значение алгебраических работ Н. И. Лобачевского, 1949; рукопись кандидатской диссертации (АПН).

продолжение книги...