Развитие методики тригонометрии


вернуться в оглавление книги...

А. В. Ланков. "К истории развития передовых идей в русской методике математики"
"Учпедгиз", Москва, 1951 г.
OCR Biografia.Ru

Текстовая версия книги приведена с некоторыми сокращениями и не содержит иллюстраций, ссылок и т. д. Скачать книгу целиком Вы сможете в нашей "DjVu-библиотеке"

продолжение книги...

РАЗВИТИЕ МЕТОДИКИ ТРИГОНОМЕТРИИ

Первые работы по тригонометрии


Тригонометрия является одним из наиболее молодых отделов элементарной математики, получивших окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи её относятся к глубокой древности, к античному миру и к математическому творчеству индусов (К. Птолемей, II в., Аль Баттани, IX в., и др.). Европейские математики достигли высокой степени совершенства в вычислении таблиц натуральных синусов и тангенсов (Региомонтанус, XV в., Ретикус и Питискус, XVI в., и др.).
Научная разработка тригонометрии осуществлена Л. Эйлером в его труде «Jntroductio in analysis infinitorum» (1748). Он создал тригонометрию как науку о функциях, дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из немногих основных формул. Обозначение сторон малыми буквами и противолежащих углов — соответствующими большими буквами позволило ему упростить все формулы, внести в них ясность и стройность. Эйлеру принадлежит мысль рассматривать тригонометрические функции как отношения соответствующих линий к радиусу круга, т. е. как числа, причём радиус круга как «полный синус» он принял за единицу. Эйлер получил ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функций с показательными, дал правило знаков функций для всех четвертей, получил обобщённую формулу приведения и освободил тригонометрию от многих ошибок, которые допускались почти во всех европейских учебниках математики (тупые углы не имеют функций и т. п.).
Сочинение Л. Эйлера в дальнейшем послужило фундаментом для учебников тригонометрии. Одно из первых руководств, «Сокращённая математика» С. Румовского (1760), отдел «Начальные основания плоской тригонометрии», начинает изложение следующим (образом: «Тригонометрия плоская есть знание через Арифметические выкладки сыскивать треугольники, которые геометрия черченьем находит». Всё изложение сводится к решению треугольников (самые простые случаи), вычисления проводятся весьма сложным путём, учение о функциях отсутствует.
Почти также изложен и учебник В. Никитина и П. Суворова.
Вполне научное изложение тригонометрии даёт акад. М. Е. Головин в своём учебнике «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами», 1789. В этой книге можно найти все важнейшие формулы тригонометрии почти в том виде, в каком принято излагать их в XIX в. (за исключением обратных тригонометрических функций). Автор не нашёл нужным загромождать изложение введением секанса и косеканса, так как эти функции в редких случаях применяются на практике.
В 1804 г. выходит учебник Н. Фусса. Книга предназначена для гимназий. «Плоская тригонометрия,— говорит автор,— есть наука, имеющая предметом из трёх данных и числами изображённых частей прямолинейного треугольника определять три прочие его части». Учебник состоит из 4 равных частей. Общие понятия, решение треугольников, приложение тригонометрии к практической геометрии и геодезии и, наконец, теорема сложения. Учебник Н. Фусса отмежёвывается от сферической тригонометрии.
Шаг вперёд делает акад. М. В. Остроградский в 1851 г. В своём конспекте по тригонометрии для руководства в военно-учебных заведениях он выступает как сторонник определения тригонометрических функций, на первом этапе их изучения, как отношений сторон в прямоугольном треугольнике с последующим обобщением их определения и распространением его на углы любой величины. Так возникает идея пропедевтического курса тригонометрии.

Тригонометрия в гимназиях

Формальное направление в преподавании математики, укоренившееся в гимназиях при Николае I, не оказало заметного влияния на содержание курса тригонометрии. Программы 1804 г. самим названием предмета «Математика чистая и прикладная и опытная физика» подчёркивали направление преподавания. Перед тригонометрией ставилась определённая цель — решение треугольников.
Ярким и последовательным противником формальной школы является М. В. Остроградский. Его авторитет в этом вопросе оказал большое влияние и на последующие годы.
В 1852 г. был издан для гимназий учебник Фр. Симашко, определявший с предельной ясностью содержание курса. «Предмет тригонометрии,— говорит он,— состоит в решении треугольников». Тригонометрические величины он выводит из прямоугольного треугольника, выбрасывает секанс и косеканс. Эта книга в течение десятков лет была учебником в гимназиях. Её 2-е издание, вышедшее в 1857 г., в определение предмета тригонометрии добавляет слово «преимущественно», но содержания почти не изменяет.
Реакционные реформы графа Д. Толстого отражаются и на изложении тригонометрии. 3-е издание учебника Фр. Симашко появляется в 1886 г., в момент расцвета «толстовской» школы. В предисловии автор пишет: «В настоящее время программы всех учебных заведений, не исключая кадетских корпусов, требуют рассмотрения тригонометрических величин из круга; согласно этим программам, я переделал заново теоретическую часть науки.
В ноябре 1886 г. специальная комиссия преподавателей средних школ при педагогическом музее военно-учебных заведений обсуждает вопрос о преподавании тригонометрии.
А. Н. Страннолюбский выступает с докладом «Об учебнике тригонометрии Ф. И. Симашко». Докладчик даёт очерк главных направлений в учебной литературе по тригонометрии. Он отмечает три направления: 1. Цель тригонометрии — решение треугольников; в литературе это направление представлено учебником Ф. И. Симашко в 1-м и 2-м изданиях. 2. Цель тригонометрии — теория круговых функций вообще, применяемая к решению треугольников; лидером этого направления является Н. Шапошников. 3. Направление, среднее между двумя первыми, стремящееся объединить их; представителем его является тригонометрия Фр. Симашко в 3-м изд. (1886).
На XIV собрании той же комиссии, состоявшемся 11 декабря 1886 г., проведена была «беседа о преподавании тригонометрии». А. Н. Страннолюбский резюмировал прения следующим образом:
«1. В курсе тригонометрии необходимо изучать теорию круговых функций с применением её к решению треугольников; ни в коем случае не ограничивать курса решением треугольников.
2. Приложения тригонометрии к решению геодезических задач не считать необходимым».
Первый пункт этого постановления является прогрессивным. Он обосновывает решение треугольников необходимой теорией. Второй пункт, наоборот, изгоняет приложения тригонометрии к вопросам жизненной практики.
Министерство народного просвещения быстро откликнулось на это постановление. В 1892 г. оно предлагает в 7-классной гимназии исключить измерение линий и углов на земной поверхности и приложения тригонометрии к измерениям на местности. В реальных училищах исключаются графические способы решения треугольников и вычисления с помощью таблиц натуральных тригонометрических величин.
Таким образом, в 80—90-х годах тригонометрия вступила на путь формального изложения, оторванного от жизни и практики. Это изложение характеризуется следующими особенностями:
1. Отсутствие пропедевтического курса.
2. Определение тригонометрических функций как отношений «тригонометрических линий» к радиусу.
3. Недостаточное использование понятия функциональной зависимости и, в частности, изучение изменений тригонометрических функций в отрыве от графиков.
4. Отсутствие приложений тригонометрии к решению задач на местности.
5. Неудовлетворительное развитие теорий функций.

Работа над учебниками во второй половине XIX в.

Типичным формалистическим учебником курса тригонометрии, воплотившим в себе все отмеченные выше недостатки изложения предмета, является книга Н. Рыбкина.
На протяжении второй половины XIX в. были попытки постановки отдельных методических вопросов в учебниках тригонометрии. Так, например, Серре излагает вопрос об обратных тригонометрических функциях параллельно с изложением тригонометрических функций и, таким образом, устраняет разрыв между ними. В остальном, однако, этот учебник разделяет недостатки учебника Рыбкина.
К. А. Торопов впервые делает попытку создать общий метод решения треугольников, исходя из ряда равных отношений (теорема синусов 2). Впоследствии этот метод получает теоретическое обоснование в ценной работе С. О. Шатуновского «Методы решения задач прямолинейной тригонометрии» (1929). Учебников тригонометрии было много, но почти все они страдают общими недостатками, свидетельствующими о неразработанности методики школьного курса тригонометрии.
Положительный отзыв даёт П. Л. Чебышев об учебнике А. Ф. Малинина (1834—1888), популярного автора учебников для средней школы и городских училищ. Это был первый опыт автора над созданием учебников. Но книга Малинина, сочетавшая научность изложения с литературностью стиля, не могла вытеснить распространённого в то время учебника Фр. Симашко.
«Прямолинейная тригонометрия» Е. Пржевальского (3-е изд., 1884) была, наоборот, отклонена П. Л. Чебышевым, так как не вносила ничего нового в структуру учебника. А. Веребрюсов («Прямолинейная тригонометрия» 1890), А. Воинов («Прямолинейная тригонометрия», 1894) и указанный выше К. Торопов являются рядовыми преподавателями провинциальной средней школы.

Программа реальных училищ 1906 г. и новые учебники

Под влиянием общественного мнения в 1906 г. изменена программа курса тригонометрии в реальных училищах.
Тригонометрия была разделена на два концентра. Первый концентр (VI кл.) содержал материал, необходимый для решения прямоугольных и косоугольных треугольников с помощью таблиц логарифмов тригонометрических величин. Второй концентр (VII кл.) давал теорию гониометрических функций (включая понятие об обратных функциях), тригонометрические уравнения и неравенства, необходимые для приближённого вычисления тригонометрических функций.
Выход новых программ является победой «новаторов» в построении курса тригонометрии, голос которых до этого скромно звучал лишь на совещаниях по реформе средней школы, созванных при учебных округах в 1899 г., и в среде педагогической общественности (Московское математическое общество, Комиссия преподавателей математики средней школы при Музее военно-учебных заведений в Петербурге, Киевское общество и др.).
Появляется ряд новых учебников тригонометрии, вносящих свежие идеи в изложение курса.
Даётся исторический очерк развития идеи тригонометрии (например у Мрочека ему отводится 24 стр.). В старых учебниках некоторые исторические сведения были помещены лишь в книге проф Г. Тиме «Плоская тригонометрия», 1881.
В связи с построением пропедевтического курса пересматривается вопрос об определениях тригонометрических функции. На первом методическом этапе вводятся определения синуса, косинуса и тангенса через стороны прямоугольного треугольника. При ходе к решению косоугольных треугольников первоначальные определения обобщаются, делается переход к определениям помощью проекций (Мрочек и др.).
При рассмотрении «особых» случаев решения прямоугольных треугольников указывается общий метод решения - составление уравнения связывающего основные элементы треугольника с неосновными (Билибин). Подробное и обстоятельное изложение вопроса о решении треугольников; ряд приложении, дающих понятие о тригонометрической съёмке планов, измерении высот, триангуляция (Мрочек, Билибин и др.).
Во второй части (гониометрические функции) вводится понятие о векторах, широко используются графики тригонометрических функций, подробно рассматривается вопрос о вычислении приближённых значений функций и о составлении таблиц, рассматриваются формулы Делямбра. В ряде учебников обстоятельно излагается теория обратных круговых функции.
Особенно выигрывает отдел «Тригонометрические уравнения». Развивается не только теория тригонометрических уравнении, но приводятся с подробным объяснением «Задачи на составление и исследование уравнений». В результате весь отдел приобретает не только теоретическое, но и практическое значение, в противовес его чисто формалистическому изложению в средней школе XIX в.
Таким образом, преподавание тригонометрии в реальных училищах приобретает новое направление, теоретически более обоснованное и рассчитанное на широкое использование приложений.

Идея пропедевтического курса тригонометрии

В классических гимназиях курс тригонометрии был сокращённым. По программам 1890 г. и раньше пропедевтический курс там отсутствовал.
Своеобразное разрешение вопроса, принятое в настоящее время и в советской школе, даёт Д. Ройтман. Идея Ройтмана заключается в связи тригонометрии с геометрией. Тригонометрические величины естественно связываются с геометрической темой «Подобие фигур». Из подобия треугольников получаются понятия «синус», «косинус» и «тангенс». Создаётся пропедевтический курс тригонометрии, в содержание которого входит лишь решение прямоугольных треугольников (с помощью таблиц натуральных значений тригонометрических величин). Введение пропедевтики тригонометрии в геометрию облегчает и обобщает многие теоремы геометрии (квадрат стороны треугольника, пропорциональные отрезки в треугольнике и круге и др.). Решение многих задач приобретает более простой и изящный вид.
Идея Ройтмана почти одновременно и несколько позднее была подхвачена французскими «реформистами» (Борель, Бурле). Вторая особенность концепции Ройтмана сводится к введению в курс геометрии некоторых понятий и теорем сферической гониометрии. В этом смысле книга Д. Ройтмана представляет оригинальную и смелую попытку некоторого дополнения курса тригонометрии, которое, кстати сказать, отсутствует в аналогичных иностранных учебниках, хотя Меранские программы это дополнение предусматривают (класс Unterprima — VIII). Простейшие предложения сферической тригонометрии крайне необходимы в средней школе при изложении математической географии и космографии (астрономии). Идея пропедевтического курса, связанного с геометрией, нашла методическое воплощение в книге П. А. Баранова «Решение треугольников в курсе геометрии с приложением таблиц катетов», 1910.
В книге П. А. Баранова делается попытка построить решение треугольников «внутри геометрии», не обращаясь к формулам тригонометрии. В ином варианте эту мысль развивает Д. В. Агапов. Для осуществления своей идеи автору пришлось взять несколько новых определений и доказать 73 теоремы. В сущности концепция Агапова содержит тригонометрию «в скрытом виде». Его основное определение формулировано так: «Величина каждого угла равна отношению длины перпендикуляра, восстановленного в какой-либо точке одной из сторон угла до пересечения с другой стороной, к длине отрезка от вершины угла до основания этого перпендикуляра». На языке тригонометрии это обозначает, что автор измеряет углы их тангенсами. Обходный путь неизбежно создаёт много трудностей и требует введения новых громоздких теорем.
Работа Д. В. Агапова в методическом отношении не представляет большой ценности. Она лишь показывает, что в начале XX в. идея включения решения треугольников в курс геометрии была исключительно популярной и одновременно развивалась различными авторами (варианты Ройтмана, Баранова и Агапова). Наиболее удачным оказался вариант Д. Ройтмана. Официальными кругами он был встречен неблагожелательно. Н. С. (Н. Соллертинский) в своей «учёной» рецензии назвал его «ненужным новшеством, крайне неумелым и беспомощным», забыв, очевидно, что двумя годами ранее учёный комитет разделил курс тригонометрии в реальных училищах на два концентра. Нельзя не согласиться с Д. Ройтманом в том, что «выпады» учёного комитета выполняют «не учёную» функцию, а функцию «общественно-политическую», что они направлены против «дерзкого» желания передовых людей того времени издавать серии «книг для современной школы».
Сам Ройтман включение начал тригонометрии называет «необычным нововведением» («Необходимое предисловие», стр. XIV). История показывает, что «нововведение» оказалось жизнеспособным, что по этому пути пошли не только программы советской школы, но и иностранные авторы учебников.
Как положительное явление следует отметить выход в свет энциклопедии тригонометрии, предназначенной в качестве пособия для преподавателей. Книга содержит много сведений, которые обычно не входят в учебники тригонометрии: суммирование тригонометрических функций углов, составляющих арифметическую прогрессию; раскрытие неопределённости; нахождение пределов тригонометрических выражений; точность таблиц и т. п. Особенно большое внимание уделено решению задач. Для своего времени книга действительно являлась настольной для преподавателя.
XIX век и начало XX в. не создали методики тригонометрии. Однако методическая мысль в России даёт богатый материал по этому вопросу. От первых элементарных книг, ставивших перед собой узкую задачу решения треугольников (Головин, Фусс, Симашко в 1-м изд.), сделан переход к подробному изучению гониометрических функций. Литература обогатилась содержательными пособиями (Мрочек, Шифф и др.). Освещены наиболее трудные вопросы курса (Торопов, Курилко, Ройтман). Программа реальных училищ 1906 г. представляет интересный «опыт» разрешения методического вопроса и позволяет сделать вывод, что в России заложен прочный фундамент методики тригонометрии.

ЛИТЕРАТУРА

1. П. Я. Севастьянов, Тригонометрия в русской дореволюционной и советской школе, 1938; рукопись кандидатской диссертации, Москва.
2. В. В. Котек, Тригонометрические функции в средней школе, 1948; рукопись кандидатской диссертации, Киев.
3. М. Е. Головин, Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами, 1789.
4. Н. Фусс, Начальные основания плоской тригонометрии, 1804.
5. Ф. С имашко, Тригонометрия, 1852, 1857, 1886.
6. М. В. Остроградский, Программа и конспект по тригонометрии для военно-учебных заведений, 1851.
7. Н. Рыбкин, Конспект прямолинейной тригонометрии, 1888.
8. А. Ф. Малинин, Руководство прямолинейной тригонометрии, 1867.
9. К. А. Торопов, Курс прямолинейной тригонометрии, Пермь 1894.
10. Д В. Агапов, Новая тригонометрия, Оренбург 1894.
11. Д. М. Ройтман, Курс элементарной геометрии, 1907. 12. В. Мрочек, Прямолинейная тригонометрия, 1908.
13. П. Курилко, Гониометрические уравнения, 1912.
14. Шмулевич, Энциклопедия тригонометрии, 1907.
15. П. А. Баранов, Решение треугольников в курсе геометрии, 1910.

продолжение книги...