Методика геометрии в XIX веке


вернуться в оглавление книги...

А. В. Ланков. "К истории развития передовых идей в русской методике математики"
"Учпедгиз", Москва, 1951 г.
OCR Biografia.Ru

Текстовая версия книги приведена с некоторыми сокращениями и не содержит иллюстраций, ссылок и т. д. Скачать книгу целиком Вы сможете в нашей "DjVu-библиотеке"

продолжение книги...

МЕТОДИКА ГЕОМЕТРИИ В XIX BEКE

Геометрия в первой половине XIX в.


В «Малых народных училищах» геометрия не преподавалась. Для «Главных народных училищ» была написана удачная книжка по геометрии — «Краткое руководство» М. Е. Головина. XIX век вновь поставил проблему учебника геометрии в связи с реформами школьной системы.
В уездных училищах по уставу 1804 г. преподавались «начальные правила геометрии», но учебник для этого курса не был издан. По уставу 1828 г. геометрия в уездных училищах преподавалась один год (в третьем классе) «без доказательств» и только до стереометрии. В 1830 г. было издано «Руководство к геометрии для уездных училищ», составленное Ф. И. Буссе. По учебнику Буссе курс геометрии имеет в значительной степени теоретический характер, хотя многие теоремы и не доказываются. Учебник составлен под влиянием Дистервега, имя которого упоминается в предисловии. Рекомендуется наведение учащихся на вывод, который по существу подсказывается учителем. Книга Буссе определила состояние геометрии в народных школах до 50 годов. Мрачная николаевская эпоха не способствовала пробуждению методической мысли. В журналах того времени помещена лишь одна статья, посвящённая этому вопросу. Статья рекомендует начинать курс геометрии с изучения тел, в результате этих занятий вырабатываются отчётливые представления о формах, необходимых для изучения геометрии.
В статье подчёркивается, что геометрия древних неспособна быть пищей для детского ума.
Вопрос о геометрии, однако, не снимался с обсуждения. До Крымской войны вышло несколько учебников: Литтрова, Фуасси, Ламе-Флери и др. Эти переводные учебники были настолько неудовлетворительны, что не могли даже вытеснить слабого руководства Ф. И. Буссе.
Надо заметить, что затруднения в методику начального обучения геометрии внесены Г. Песталоцци и его немецкими последователями. «Средства для наглядного обучения отношению мер: 1) прямая линия и 2) квадрат»,— говорит Песталоцци. В качестве основного пособия он даёт три таблицы, содержащие эти фигуры и их элементы в самых разнообразных сочетаниях. Например, на первой таблице приведены 10 горизонтальных линий разной длины, начиная от 1 и кончая 10. Песталоцци рекомендует установить следующие наглядные истины: первая линия короче второй, вторая линия длиннее первой, но короче третьей и т. д. Далее, первая линия не разделена, вторая линия точкой разделена на две равные части и т. д. Всего ученики должны усвоить 376 «истин» относительно горизонтальных линий и столько же относительно вертикальных линий. В общем первая тетрадь «Азбуки наглядности» Песталоцци заключает более 1000 «истин», предлагаемых для усвоения. «Наглядность» Г. Песталоцци в отношении форм — своеобразный аналог «метода изучения чисел» Грубе, на связь которого с Песталоцци мы уже указывали.
Идеи своего великого предшественника развил Гербарт. Уже в 1802 г. он, будучи поклонником швейцарского педагога, заявлял, что «у Песталоцци не было системы», что многое следовало бы изложить иначе. По Гербарту «простые точки сами по себе ничто»... прямая линия хотя и важна для измерения, но формы здесь ещё нет; «истинными элементами всякой фигуры являются треугольники». Теоретические построения Гербарта (на практике он их не проводил) с треугольниками обременяют память ученика, «требуя от него почти невозможного». Чтобы пройти все по его системе, «требуется терпение осуждённого на это каторжника», сознаётся П. Трейтлейн.
Метод Песталоцци «углубляет» его ученик Иосиф Шмид. По словам В. Гарниша, преподавание по системе И. Шмида «было противное занятие с комбинациями линий, ненужное напряжение сил, без пользы, без цели, без связи с наукою или жизнью».
В 20-х годах В. Гарниш рекомендует начинать геометрию с изучения тел. Дистервег излагает свой «развивающий» метод, заключающийся в постановке вопросов и задач; в нём он также исходит из пространства и тела, но категорически отрицает графические упражнения, относя их к элементам искусства.
Расцвет немецкой идеалистической философии в корне пресёк развитие методики геометрии. На почве этой философии вырос аристократический новогуманизм, который задержал развитие школьной математики почти до конца столетия. Даже в 1887 г., по свидетельству Шельбаха, «непризнанные и презираемые по невежеству и высокомерию, математика и естественные науки влачат в гимназиях до сих пор жалкое существование».

Русская методика геометрии в 60—70-х годах XIX в.

Методика начальной геометрии в России начинает оформляться в эпоху школьных «реформ». В связи с появлением новых типов учебных заведений (двухклассные училища МНП, городские училища по положению 1872 г.) возникает вопрос о программах геометрии в школах этого типа и об учебниках. Одновременно дебатируется вопрос о введении пропедевтического курса геометрии в среднюю школу.
В 1867 г. выпускает «наглядную геометрию» М. О. Косинский, сослуживец К. Д. Ушинского по Смольному институту. «Очень полезно,— говорит автор,— приучать ум к размышлению не только о наглядных предметах, но также о понятиях и представлениях отвлечённых, но ...нельзя давать их в пищу для ума, ещё совершенно неподготовленного к размышлению. В высшей степени важно сгладить переход от наглядного к отвлечённому, сделать его постепенным, начать с рассуждений, основанных на внешних чувствах, и только мало-помалу присоединять к ним рассуждения, заставляющие работать способности внутренние». В этих положениях явно звучит голос творца русской педагогики К. Д. Ушинского. «Наглядная геометрия» М. Косинского начинает изложение «с протяжений о трёх измерениях» и на их изучении вырабатывает главнейшие понятия геометрии.
В шестидесятые годы под влиянием подъёма общественной мысли начинается интенсивная педагогическая работа. Возникают журналы: «Воспитание» Чумикова, «Учитель» Паульсона и Весселя, «Русский педагогический вестник» Вышнеградского. В «Морском сборнике» появляется знаменитая статья Пирогова «Вопросы жизни». Реорганизация армии поручается новому военному министру, просвещённому деятелю эпохи, графу Д. А. Милютину.
Особый комитет работает над преобразованием военно-учебных заведений, учреждаются общеобразовательные военные гимназии, в которых преподавание согласуется «с современными требованиями педагогики». Все лучшие силы привлекаются к работе в новых школах. На пост начальника военно-учебных заведений приглашается энергичный попечитель Московского учебного округа генерал Н. В. Исаков.
В 1864 г. начинает выходить журнал «Педагогический сборник», к руководству которым привлекается крупный педагог Н. X. Вессель. Появляются новые учреждения: «Педагогический музей военно-учебных заведений в Соляном городке в Петербурге», Педагогические курсы при второй Петербургской военной гимназии, Учительская семинария военного ведомства в Москве. Лучшие педагоги переходят в военное ведомство (А. И. Гольденберг — в Москве, А. Н. Острогорский — в Петербурге и др.). По словам Д. И. Тихомирова, «В «Милютинское время» Главное управление военно-учебных заведений «служило центром всего педагогического движения» и военное министерство нередко называли «Ведомством народного просвещения».
Академик М. В. Остроградский и проф. Блюм в 1860 г. в статье «О преподавании точных наук» выставляют ряд требований, которым должно удовлетворять преподавание математики. Школьная математика, по мнению авторов, 1) должна соответствовать прогрессу науки, 2) соответствовать детскому возрасту и 3) подготовлять учащихся к практической деятельности.
П. К. Гейлер в журнале «Учитель» проводит разделение курса геометрии на ступени. «Геометрию следует начинать с сравнительного рассмотрения наглядных преподавательских средств, а не с отвлечённых понятий, как то до сих пор делалось, когда начинали с точек, линий, площадей». Но автор предупреждает, что нельзя переходить из одной крайности в другую: «от сухих отвлечённостей бросились на одни формы и на бесплодный перечень названий».
Изготовление чертежей и моделей должно сопровождаться соответствующими обобщениями и выводами, иначе геометрия не только не будет способствовать умственному развитию, но подобное преподавание приведёт «к поверхностному, неверному и неполному пониманию оснований науки».

A. H. Острогорский

Первым большим трудом по методике геометрии является книга А. Н. Острогорского «Материалы по методике геометрии», печатавшаяся в приложении к «Педагогическому сборнику» за 1883 г. и в следующем году вышедшая отдельным изданием.
Алексей Николаевич Острогорский родился в 1840 г. Первоначальное образование получил во 2-м кадетском корпусе в Петербурге, который окончил в 1858 г. фельдфебелем с производством в офицеры в Финляндский полк. По окончании корпуса был зачислен в Михайловскую артиллерийскую академию, окончил её в 1861 г. с званием «отличнейшего». Поступил на должность репетитора физики в свой родной 2-й корпус. Эпоха преобразования военно-учебных заведений застала его в должности воспитателя 2-й военной гимназии. В 1872 г. он назначается на должность инспектора классов Петербургской военной гимназии, а в 1877 г. получает пост директора учительской семинарии военного ведомства. В семинарии он преподаёт геометрию и методику геометрии.
В 1882 г. А. Н. Острогорский назначается редактором «Педагогического сборника», в этой должности работает до 1910 г. В 1906 г. производится в генералы от инфантерии. В 1907 г. праздновался 25-летний юбилей редакторской деятельности А. Н. Острогорского. Общественность Петербурга высоко оценила личность юбиляра. Получено было много приветствий. «Вы звали вперёд своих читателей,— говорится в одном из них,— Вы вливали в них новые мысли, Вы, наконец, поддерживали их в минуты уныния и тоски, нападавшие на них под влиянием тяжёлой жизненной обстановки».
Автор называет свой труд «Материалами», так как не считает «себя достаточно подготовленным, чтобы составить методику геометрии».
Приводим его содержание: «Общие замечания о геометрических определениях. Определения прямой, угла, фигуры и т. д. Аксиомы. Происхождение и дидактическое значение их. Арифметические аксиомы. Геометрические аксиомы. Теорема, состав её. Взаимная зависимость теорем. Значение обратных теорем. Образование обратных теорем. Доказательство теоремы. Убеждение учеников в необходимости доказывать теоремы. Доказательство с логической стороны. Чертёж. Вспомогательные линии. Прямые и косвенные доказательства. Способ наложения. Способ пропорциональности. Способ пределов. Алгебраические выкладки при доказательстве теоремы. Запись доказательства. Аналитический и синтетический методы. Проработка теоремы в классе».
Знакомство с «Материалами» показывает, что книга содержит теоретические основы методики геометрии и в этом смысле аналогична «Руководству» В. А. Латышева, относящемуся к арифметике. Всё изложение автор ведёт на фоне критического анализа учебников (Волков, Воронов, Вулих, Гурьев С., Давидов, Дистервег, Дюгамель, Евклид, Егоров и Малинин, Кравченко, Латышев, Леве, Лежандр, Мазинг, Мерчинский, Остроградский, Поляков, Пржевальский, Руше, Симашко, Сонне, Фальке), что особенно ценно.
В основаниях науки автор далёк от влияния немецкой идеалистической философии. Останавливаясь на образовании понятий, он замечает, «что понятие идёт за наблюдением, что оно имеет в основании своём мир реальный, существующий» (стр. 8). Точно так же «аксиомы не составляют умственного материала, прирождённого душе человеческой» (стр. 27).
А. Н. Острогорский обстоятельно останавливается на логической стороне: понятия и их образование, определения, аксиомы и теоремы и т. д. Решение вопросов в большинстве случаев правильное с современной точки зрения.
Остановимся на определении прямой. Автор практически рассматривает следующие определения (стр. 13): «Прямая есть кратчайшая из всех, проведённых между двумя точками (Сонне, § 4; Лежандр). Прямою называется линия, идущая неизменно в одном направлении (Фальке, стр. 105). Прямою называется линия, положение которой вполне определяется двумя своими точками (Пржевальский, Остроградский). Прямая линия есть та, которая одинаково лежит относительно всех своих точек (Евклид, кн. 1). Прямая линия есть такая линия, каждая часть которой, будучи перемещена на другую часть прямой, сливается с нею вполне, если две крайние точки её совместились с точками другой части её (программа, составленная обществом для улучшения преподавания геометрии)».
После разбора автор делает вывод: «Понятие о прямой служит основанием для всего дальнейшего; само же оно не имеет перед собою ничего более простого, что могло бы служить основанием для её определения» (стр. 17). Ещё раньше автор указывал, что «Понятие прямой принадлежит к основным, не допускающим никакого определения» (стр. 13), и некоторые учебники встали на эту точку зрения (Вулих, Давидов, Мазинг и др.).
Говоря о понятии «угол», автор приводит 7 определений (стр. 17—20) и подвергает их критическому анализу. Внимательно исследуется вопрос о классификации геометрических понятий.
Приняв обычное для того времени определение аксиомы: «аксиомами называются истины, не требующие доказательства» (стр. 27), автор после разбора приходит к правильному выводу: «Мы признаём истину аксиомою совершенно условно». О системе аксиом и требованиях, которым она должна удовлетворять, автор, конечно, ничего не говорит: в то время этот вопрос не представлялся ещё научно обоснованным.
Многие тонкие вопросы, на которых нередко не акцентируют внимание не только преподаватели, но и авторы учебников, например, вопрос о геометрическом равенстве, разбираются в книге.
В главе о теоремах автор даёт много ценных научных и методических сведений (вопрос о значении обратных теорем, о значении силлогизма — в связи с развитием естественных наук и др.). Со всей ответственностью можно сказать, что методика доказательства теорем изложена автором с исчерпывающей полнотой, много внимания уделяется и вопросам повторения.
Некоторые вопросы, актуальные в наше время, не получили освещения (о параллельности, об измерении величин, о симметрии, о геометрических преобразованиях, о задачах и др.), но надо принять во внимание, что организация «Материалов» относится к 70-м годам, когда в геометрической науке мы ещё не имели многого, что имеется в настоящее время.
Для своего времени труд А. Н. Острогорского — большое событие в России. В Западной Европе в это время и даже в самом конце XIX в. «в геометрии всё ещё господствует кантовокое понимание пространства». Пицкер в 1893 г. делает новую попытку философски и математически обосновать кантовскую априорность и абсолютную истину евклидовой геометрии. Л. Кутюра в 1905 г. заявляет, что наша обыкновенная геометрия основывается единственно и исключительно на принципах и основных понятиях логики. М. Симон, вообще очень щедрый на библиографию, в своих 29 примечаниях не мог привести в немецкой литературе ни одного труда, относящегося к методике геометрии.

Подготовительный курс геометрии

«Материалы» А. Н. Острогорского относятся к методике так называемого систематического курса геометрии, который естественно является второй ступенью курса геометрии. Автор определённо ставит вопрос, что «подготовкою к работе над отвлечённым материалом должна служить пропедевтика, т. е. она должна привести ученика к тому, чтобы он, исходя от наблюдения тел, граней, рёбер, пришел к отвлечённому представлению поверхностей, линий, точек и т. д.» (стр. 9), и эта работа методически освещена и продвинута в России во второй половине XIX в. с большой полнотой.
В России создано большое количество учебников, определяющих этот курс, серия которых начата «Наглядной геометрией» М. О. Косинского. К ним относятся: Фан-дер-Флит, Вулих, Волков, Борышкевич, Шохор-Троцкий, Астряб и др. Необходимость такого рода учебников вызывается потребностями в них различных типов школ: двухклассные училища МНП; городские училища по положению 1872 г. (в XX в. преобразованные в высшие начальные училища), низшие технические училища, торговые школы и пр.
По вопросам обоснования программ и методики преподавания пропедевтического (начального) курса геометрии большая работа проделана В. А. Латышевым.
В. А. Латышев строит два типа начального курса: элементарный и элементарно-теоретический. Первый он относит к двухклассным училищам МНП, второй — к городским училищам. Программа курса геометрии для двухклассных училищ была выработана Петербургским учебным округом при ближайшем участии В. А. Латышева в 1890 г. и обсуждена на собраниях учителей. Автор считает его «Курсом практического характера». Содержание курса определяется тем фактом, что двухклассные училища открываются в сельских местностях и, следовательно, они должны удовлетворять потребностям крестьянского населения. В основу курса он положил «Сведения о практических применениях геометрии, преимущественно к измерению поверхностей, объёмов и к съёмке планов».
Большое место он отводит приёмам геометрических построений, построениям с помощью циркуля и линейки. В целях образовательного значения курса он предъявляет к нему требования законченности и равномерности в частях. В практическом курсе «можно давать и так называемые наглядные доказательства». Рассуждение возможно в том случае, «когда оно не представляет затруднений для учащихся». Автор особенно возражает против «поверхностных и неправильных доказательств». Занятия геометрией соединяются с черчением. Рекомендуется применение астролябии, эккера, мензулы. В целях подготовки учителей к проведению такого курса в учительских семинариях были введены практические занятия по измерениям на земле.
Для городских училищ В. А. Латышев строит элементарно-теоретический курс.
«Наша умственная работа,— говорит он,— опирается главным образом на три элемента: наблюдение, обобщение и умозаключение. Первое представляет главнейший и основной источник наших знаний, второе — основной источник обработки приобретённых знаний (образование понятий)... третье... расширяет область познания и изменяет его приёмы». В городских училищах «должен преподаваться теоретический курс» в виду особого значения геометрии для развития дедуктивного мышления. «Рассмотрение форм должно предшествовать занятиям геометрией и составлять содержание приготовительного курса «геометрии». Автор считает приготовительный курс для городских училищ неизбежным (на него отводится первый год занятий). Автор считает невозможным в течение оставшихся трёх лет изложить учащимся всё содержание предмета. Представляется два пути: пройти кратко весь курс или подробно планиметрию. В. А. Латышев считает, что на первом месте должен стоять не объём курса, а тщательное изучение научного материала. Из стереометрии он берёт только то, что касается выражения поверхностей и объёмов (без доказательств). Автор за научную строгость доказательств, но он против доказательства тех положений, которые понятны ученикам без доказательства, он также против поверхностных, неправильных доказательств. Методические построения автора в сущности исходили из действующей программы и не требовали их коренной ломки. Надо заметить, что окончившие городские училища, поступив затем в различные средние технические училища, без особых затруднений овладевали геометрией. Методические концепции В. А. Латышева отличались реальностью и научностью, он был убеждён, что исключительно наглядное прохождение геометрии теряет образовательную ценность.
Много интересных взглядов на преподавание геометрии автор высказывает в своей работе, помещённой в «Педагогическом сборнике» в статье о преподавании математики в женских гимназиях и в своей специальной работе по методике геометрии.
Вопрос о построении законченного сокращенного курса геометрии для ряда учебных заведений с пониженным сроком обучения был удачно решён русской методикой геометрии.
Сложнее обстояло дело с пропедевтическим курсом геометрии в общеобразовательных средних учебных заведениях. Этим вопросом интенсивно занималась методика геометрии, но к его разрешению подошла лишь в первом приближении.
На рубеже XX в. вопрос был разрешён положительно в кадетских корпусах, некоторых коммерческих и реальных училищах и в частных гимназиях.
Во второй половине XIX в. была создана богатая учебная литература по геометрии для средних учебных заведений. Из учебников геометрии заслуженным успехом пользовалась «Элементарная геометрия в объёме гимназического курса» А. Давидова (1-е изд. вышло в 1866 г., 30-е изд.— в 1910 г.).
Август Юльевич Давидов (1823—1885) родился в г. Либаве, сначала учился дома, затем посещал старшие классы института для обер-офицерских детей. Высшее физико-математическое образование получил в Московском университете, окончив его с золотой медалью в 1845 г. В 1850 г. А. Ю. начинает чтение лекций в Московском университете и в 1853 г. назначается экстраординарным профессором. В 1860 г. он принимает пост инспектора частных учебных заведений г. Москвы и, таким образом, становится в центре интересов преподавания математики в средней школе. Автор популярных учебников по всем разделам математики, один из учредителей Московского математического общества.
Среди учебников А. Ю. Давидова по научности и методике изложения первое место занимает «Элементарная геометрия». Несмотря на истекшие 85 лет со дня выхода этой книги, по логической строгости, содержанию и стилю она весьма близка к современным нам учебникам. 14 глав учебника содержат материал программ нашего времени, даже с некоторыми дополнениями: гармоническое деление, поляры, теория правильных многогранников, понятие о конических сечениях, сферический треугольник. Теоретический курс сопровождается приложениями геометрии к жизни. Автор знакомит учащихся с астролябией, съёмкой плана. В связи с теорией дано около 600 хорошо подобранных задач.
Учебники А. Ю. Давидова, несомненно, оказали большое влияние на преподавание математики в нашей средней школе.

НЕКОТОРЫЕ НАИБОЛЕЕ ТИПИЧНЫЕ УЧЕБНИКИ XIX в.

1. Ф. И. Буссе, Руководство к геометрии для уездных училищ, 1830.
2. М. В. Остроградский, Руководство начальной геометрии для военно-учебных заведений, курс II кл., 1855, курс III кл., 1857, курс V кл., 1860.
3. А. Давидов, Элементарная геометрия, 1863.
4. М. О. Косинский, Наглядная геометрия, 1871.
5. А. Малинин и К. Буренин, Курс начальной геометрии и собрание геометрических задач для уездных училищ, 1873.
6. Их же, Руководство наглядной геометрии, 1875.
7. А. Малинин, Геометрия, 1885.
8. З. Вулих, Краткий курс геометрии (для городских училищ) изд. 10, 1885.
9. И. Александров, Методы решения геометрических задач на построение, 1885.
10. А. Малинин и Ф. Егоров, Руководство геометрии, изд. 2, 1886.
11. К. Мазинг, Геометрия, 1886.
12. А. Богородицкий, Геометрия для городских училищ, 1891.
13. А. П. Киселев, Элементарная геометрия, 1893.
14. А. Н. Глаголев, Элементарная геометрия, 1895 и др.

ЛИТЕРАТУРА

1. А. Н. Острогорский, Материалы по методике геометрии, пособие для начинающих преподавателей, 1884, стр. 173 (печатались в качестве приложения к «Педагогическому сборнику» в 1883 г.).
2. В. А. Латышев, Записки по методике геометрии, литографир. издание, 1878.
3. В. А. Латышев, О преподавании геометрии, «Педагогический сборник», 1877, № 12.

продолжение книги...