Возникновение методико-математических идей в России в XVIII в.


вернуться в оглавление книги...

А. В. Ланков. "К истории развития передовых идей в русской методике математики"
"Учпедгиз", Москва, 1951 г.
OCR Biografia.Ru

Текстовая версия книги приведена с некоторыми сокращениями и не содержит иллюстраций, ссылок и т. д. Скачать книгу целиком Вы сможете в нашей "DjVu-библиотеке"

продолжение книги...

ВВЕДЕНИЕ. ВОЗНИКНОВЕНИЕ МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИДЕЙ В РОССИИ В XVIII В.

Российская империя в начале XVIII в.


На рубеже XVIII в. происходит большой сдвиг в социально-экономическом и культурном развитии России. В рамках старых феодально-крепостнических отношений растут ремёсла и развивается промышленность, перед которой ставится задача удовлетворения потребностей внутреннего рынка.
Развитие промышленности и товарного оборота в стране приводит к росту городов. Уже в XVII в. возникло более 160 новых городов. В связи с оживлением экономической жизни страны естественно усиливаются связи России с соседними странами. Жизнь выдвинула перед страной ряд больших вопросов. Разрешение этих вопросов составляет основу преобразовательной деятельности Петра I.
Реформы Петра I носили классовый характер. Сущность их вскрыл товарищ Сталин: «Пётр Великий,— говорит товарищ Сталин,— сделал много для возвышения класса помещиков и развития нарождавшегося купеческого класса. Пётр сделал очень много для создания и укрепления национального государства помещиков и торговцев... и укрепление национального государства этих классов происходило за счёт крепостного крестьянства, с которого драли три шкуры».
Смелая реформаторская деятельность Петра I, его решительная борьба за нововведения произвели расслоение верхушки русского общества на два лагеря: врагов преобразователя — приверженцев старины и сторонников его — «птенцов гнезда Петрова».
Развитие промышленности, торговли и культуры, упорядочение государственного аппарата вызвали потребность в новых кадрах, которые нужно было подготовить.
Первая высшая школа в России возникла в Киеве: в 1631 г. «братская школа» была преобразована в «Коллегиум», а в 1701 г.— в «Академию». Одним из видных деятелей этой школы является Феофан Прокопович, преподаватель философии, арифметики, геометрии и физики и с 1707 г.— префект «Академии», оратор, писатель и государственный деятель. «В его лекциях по риторике, философии (и особенно по геометрии и физике, введённым им впервые) чувствовались живой интерес и вдумчивое отношение к действительности, содержались призывы к передовой науке, к знанию». Прокопович считал, что в борьбе науки и богословия победа будет на той стороне, где «достоверные физические и математические доводы», а не догматы.
Он со всей силой своего красноречия критикует иностранцев, принижавших роль великого русского народа, и в своей книге «Краткая история о делах Петра Великого» стремится показать величие России в прошлом и настоящем.
В 1687г. в Москве открылась славяно-греко-латинская Академия, питомцами которой были Л. Ф. Магницкий и М. В. Ломоносов.
Выдающимся сподвижником Петра I был Василий Никитич Татищев, автор «Разговора о пользе наук и училищ». Он выступает за развитие типографского дела, призывает к открытию библиотек в стране. К полезным наукам он относит письмо, красноречие, иностранные языки, арифметику, геометрию, землемерие, механику, физику, химию и др.
Будучи начальником всех уральских и сибирских заводов, он строит большой завод на реке Исеть с рабочим посёлком, из которого впоследствии вырос г. Екатеринбург (ныне Свердловск). Здесь он создаёт «цифирную школу» (ныне Свердловский индустриальный техникум), которой в 1945 г. исполнилось 225 лет. В «арифметическом отделении этой школы преподаются арифметика, геометрия, логарифмические вычисления, тригонометрия и «знаменования (т. е. черчение и техническое рисование) ». Иван Тихонович Посошков, автор сочинения «Книга о скудости и богатстве», требовал «обязательного 3—4-летнего обучения для крестьянских детей с тем, чтобы не было и в малой деревне безграмотного человека».
Величайшим деятелем науки и культуры в XVIII в. является Михаил Васильевич Ломоносов. Учёный-энциклопедист, он, по словам Пушкина, «обнял все отрасли просвещения... всё испытал и всё проник». Передовую науку М. В. Ломоносов соединял с интенсивной практической деятельностью. Он обосновал закон сохранения вещества в природе, дал ценные исследования в области русского языка, истории, геологии, минералогии, физики, астрономии, химии; занимался изучением природных богатств России в целях их разработки, создал фабрику для производства цветного стекла, работал над проблемой морского пути через Ледовитый океан. При его участии созданы Московский университет, гимназии. Свои замечательные открытия он рассматривал как борьбу за честь русского народа, за его счастье.
Вопреки утверждениям русских буржуазных историков педагогики (Владимирский-Буданов, Рождественский), отмечавших узкий профессионализм школ, созданных Петром I, исследования советского периода устанавливают широкий и разносторонний энциклопедизм образования с преимущественным реальным направлением и светский характер школы.

Учебные заведения и очаги культуры в первой половине XVIII в.

Государственные школы возникают в России в эпоху Петра I. Для устранения экономической зависимости России от более развитых стран Запада необходимо было развитие общего и технического образования. Великий преобразователь России, «царь помещиков и купцов», чётко проводит свой план подготовки специалистов, которые могли бы принять участие в осуществлении задуманных реформ.
В 1701 г. в Москве открывается «Математических и навигационных, т. е. мореходно-хитростных, наук школа». В 1703 г. возникает частная гимназия пастора Глюка. В 1712 г. появляются в Москве инженерная и артиллерийская школы. В 1714 г. в городах начинают насаждаться цифирные школы и «наука цифирная» объявляется обязательной. В 1715 г. организуется Морская академия в Петербурге.
Таким образом, реформы Петра I приводят к развитию в России реального образования, к открытию школ реального типа, в которых математика ставится на первый план. Для подготовки духовенства открываются епархиальные школы, в учебный план которых вводится математика (геометрия, по указу 1722 г.). При пехотных полках появляются гарнизонные школы. Совершенно иное положение наблюдается на Западе. Общеобразовательные средние школы Западной Европы, являясь преемниками латинских школ, имели по преимуществу классическое направление и находились под прямым влиянием духовенства. Естественно, что математика там не была в почёте. Померанский статут, относящийся к концу XVI в., подчёркивает, что в математике преподаватели ничего не могут излагать «не посоветовавшись с начальником и пасторами». М. Симон приводит высказывание проф. А. Бриля, который утверждает, что «за сто лет до нас (следовательно, в конце XVIII в.) математика в немецких гимназиях была чуждым элементом», её терпели только в форме числового счёта. В известном Итонском колледже (Англия) обязательный курс математики был введён лишь в 1851 г. Развитие методики на Западе в XVII и XVIII вв. ограничивалось запросами технических и военных школ.
Реформы Петра носили исторически ограниченный классовый характер. Образованием охватывались лишь узкие слои населения, главным образом дети дворян, духовенства, купцов и посадских людей. В обществе образовательные реформы встречали прямое противодействие. «Не вели, государь, для означенной науки, во учинённые в Москве школы детей наших брать»,— писали жители трёх городов. И, действительно, в 1720 г. посадские дети были освобождены от обучения. Дворяне также предпочитали не учиться. Однако великий преобразователь настойчиво продолжал начатое дело. В последние годы царствования Петра каждый губернский город имел две школы — духовную и светскую. В 1724 г. был разработан «Устав» Академии Российской. И в Академии почётное место заняли представители математической науки: проф. Я. Герман, ученик Якова Бернулли; Николай и Даниил Бернулли, сыновья Иоганна Бернулли; X. Гольдбах, Л. Эйлер, Д. Мейер и др. Первое торжественное заседание Академии открылось 13 ноября 1725 г. докладом акад. Я. Германа «Об аналитическом выводе сфероидальной формы земли». В 1726 г. при Академии открывается гимназия, в которую было принято 112 учащихся. Дворяне и купцы не желали посылать своих детей в гимназию: первые приёмы академической гимназии дали значительное число детей солдат, мастеровых и даже крепостных. Гимназия не давала ни чинов, ни прав. Дворяне предпочитали учиться в шляхетном корпусе, открытом в 1731 г. В учебном плане гимназии видное место занимали арифметика, геометрия и тригонометрия.
В навигационной школе на арифметику отводился 1 год, геометрия изучалась в течение 8 месяцев, плоская и сферическая тригонометрия — 3 месяца. Пётр распорядился отвести для каждой науки особый день и проходить их параллельно.
В Морской академии изучались арифметика, геометрия, артиллерия, навигация, фортификация и т. д. В цифирных школах также проходились арифметика, геометрия и плоская тригонометрия, причём занятия носили индивидуальный характер. Одновременно при Академии был открыт университет. Студентов в нём было меньше, чем в гимназии. Из окончивших гимназию в университет переходили очень немногие. Были годы, когда университет совсем не имел студентов (1731 г.), иногда количество профессоров было равно количеству студентов (в 1742 г.— по 12 человек).
Пополнение для университета брали из Духовной академии. В 40-х годах в университете вводится обучение высшей математике (для наиболее успевающих). Во второй половине XVIII в. в программу университетского преподавания вводятся механика, оптика, гидростатика.
Наконец, в 1755 г. открывается Московский университет с двумя гимназиями при нём (для дворян и для разночинцев). В 1758 г. такие же гимназии были открыты в Казани. Число учащихся в Московской гимназии быстро увеличивалось (в 1787 г. было до 1000 человек).

Л. Ф. Магницкий

Только первое время Россия использовала иностранцев в качестве учителей в школах и учёных — в Академии. В навигационной школе первыми преподавателями были профессор Абердинското университета Эндрью Фархварсон, Стефан Гвин, Ричард Гриз. Но уже с первых лет существования школы появился талантливый преподаватель Леонтий Филиппович Магницкий (1669—1739), русский человек, не уступавший иностранцам ни в знаниях по математике, ни в организационных способностях. Крестьянин Тверской губ., питомец Московской славяно-греко-латинской академии, Л. Ф. Магницкий был образованным человеком своего времени. Он владел латинским, греческим, немецким, голландским языками и был достаточно знаком с достижениями западноевропейской математики.
Его книга «Арифметика сиречь наука числительная», 1703, является первым фундаментальным трудом в истории русской математики. Заглавие не определяет её содержания. По существу, «Арифметика» Магницкого является энциклопедией математических знаний. Большой том, объёмом свыше 600 страниц, содержит элементарную арифметику в полном объёме, обобщённую арифметику (учение о числах алгебраических), решение уравнений первой и второй степени, извлечение квадратных и кубических корней, сведения из геометрии, тригонометрии, астрономии, навигации и т. д. Книга Магницкого не является простым переводом с какого-то иностранного языка, не составляет подражания -- это оригинальный труд, стоящий на уровне аналогичных западноевропейских изданий того времени. Славянский шрифт, догматическое изложение, заимствованная главным образом из латинского языка терминология, отвлечения и общефилософские рассуждения даже в стихотворной форме — вот характерные особенности этой книги.
По содержанию «Арифметика» Магницкого — плод зрелой мысли, не лишённый своеобразных методических достоинств; примеры восходящей трудности, интересный подбор задач и т. п. По этой книге учились поколения русских людей. Ломоносов называл её «вратами своей учёности» и многое знал наизусть. Таким образом, Л. Ф. Магницкий опередил своих учителей, создав книгу, достойную удивления.

Подготовка преподавательских и научных кадров

Проблема преподавания математики в общеобразовательных и технических школах, созданных в XVIII в., могла быть решена лишь при условии освоения достижений мировой математической науки.
Первый призыв учёных Академии Российской состоял из иностранцев. Из них Л. Эйлер (1707—1783), сын базельского пастора и ученик И. Бернулли, ассимилировался в России и всем своим существом был предан своей второй родине. 20-летним юношей, по вызову братьев Бернулли, он приехал в Россию и с русской научной культурой был связан кровными узами всю свою жизнь. Он сделался русским академиком, учёным с мировым именем.
В 1741 г. Эйлер выехал в Берлин, где прожил 25 лет. Но и во время пребывания в Пруссии, оставаясь почётным членом С.-Петербургской Академии, он был предан русскому народу. Из Берлина он прислал в Академию 105 работ и в том числе два главных труда: «Основания дифференциального исчисления» и «Морская наука». «Его королевское величество (Фридрих Прусский) недавно меня спрашивал,— пишет Эйлер,— где я изучал то, что знаю? Я, согласно истине, ответил, что всем обязан пребыванию в Петербургской Академии наук». Диапазон исследований Эйлepa был исключительно велик: проблемы транспорта породили "Морскую науку", связанную с ней теорию движения луны, работы по картографии; в области чистой математики его можно по праву назвать создателем аналитической теории чисел; ему принадлежит классический труд — «Введение в анализ бесконечно-малых», трактат по вариационному исчислению и т. д. При жизни Эйлера в изданиях Петербургской Академии было опубликовано 464 его работы и после смерти 199 работ. На сочинениях Эйлера учились западноевропейские математики: «Читайте, читайте Эйлера,- писал Лаплас,- это учитель нас всех».
Эйлер создал в России плеяду талантливых учеников (М. Е. Головин, П. Б. Иноходцев, С. К. Котельников, С. Я. Румовский, Н. И. Фусс, В. Е. Ададуров и др.), в трудах которых и определились прогрессивные идеи по методике математики. Из военно-учебных заведений вышло второе поколение учеников (Н. Г. Курганов, С. Е. Гурьев и др.). Многие из них были не только блестящими педагогами, но и талантливыми математиками-исследователями. Таков, например, сын солдата Преображенского полка Семён Кириллович Котельников (1723— 1806). В 1754 г. Эйлер писал о нём: «Во всей Германии не найти более 3 человек, которые в математике заслуживали бы предпочтение перед Котельниковым, но в течение года я добьюсь того, что он превзойдёт и этих людей».
Котельников оправдал ожидания своего учителя. Конкурентами С. Котельникова на кафедру математики были немцы. Эйлер писал о них: «Эти субъекты, как мне кажется, из-за своего необыкновенного трудолюбия потеряли здравый человеческий смысл. По сравнению с ними я могу с полным правом считать Котельникова Архимедом или Ньютоном». В течение 5 лет С. К. Котельников руководил академической гимназией.
Столь же показательна и личность Степана Яковлевича Румовского (1734—1812). Он родился в семье священника и из духовной семинарии был переведён в академическую гимназию. 19 лет получил звание адъюнкта и был направлен учиться к Эйлеру. В своём лице он соединял блестящего астронома, в течение 25 лет руководившего составлением астрономических календарей, талантливого педагога, составителя учебников и опытного администратора (член главного управления училищ, попечитель Казанского университета, вице-президент Академии наук). Между прочим, когда в России было предпринято составление словаря русского языка, С. Я. Румовский принял и в этой работе энергичное участие, за что был награждён золотой медалью.
Выдающимся деятелем просвещения XVIII в. является Николай Гаврилович Курганов (1726—1796), ученик Магницкого. По окончании Морской академии Курганов сделался преподавателем математики в Морском корпусе. В 1774 г. Эйлер — сын и Котельников отличают его как учёного, достойного стать профессором математических наук. В 90-х годах Н. Г. Курганов был назначен инспектором Морского корпуса. Н. Г. Курганов является автором учебников по математике, наиболее новых по идеям и популярных в XVIII в.
Николай Иванович Фусс (1755—1826), ученик и секретарь Эйлера, работоспособный и талантливый математик, был долгое время непременным секретарём Академии наук. Им составлено несколько учебников. В качестве члена Главного правления училищ Н. И. Фусс принимал деятельное участие в реформе системы народного образования и в организации университетов.
На немногих примерах мы показали, как росли в XVIII в. национальные кадры педагогов-математиков. История подготовки этих кадров тем более поучительна, что в течение первой четверти века существования Академии наук в руководстве делами Академии наблюдалось открытое немецкое засилье. Управляющий делами Академии Шумахер и другие чиновники с пренебрежением относились к русским и ставили на их пути всяческие преграды. Из биографии гениального учёного XVIII в. М. В. Ломоносова это хорошо известно. Но пионеры русской математической науки и русской методики математики, в большинстве случаев разночинцы по происхождению, оказались волевыми людьми: они преодолели все препятствия.

Первые учебники математики, борьба с иностранными влияниями

В связи с ростом школ необходимо было разрешить проблему учебников математики. XVIII век не создал и не мог создать методической литературы. Здесь закладывался лишь фундамент методической науки. Методические факты, отдельные методические направления находили своё отражение в учебниках. Методика рождалась в противоречиях, в борьбе и прежде всего в борьбе с иностранными влияниями.
«Арифметика» Магницкого — это эпоха в деле создания учебников. «Магницкий, по словам Галанина, стоит на рубеже старой европейской математики и её нового развития в XVIII в.». Заслуга Л. Ф. Магницкого заключается в том, что он создал оригинальный русский учебник, хотя при его знании иностранных языков соблазн перевода той или иной западноевропейской книги, безусловно, был велик.
В русской математической литературе «Арифметике» Магницкого предшествовали многочисленные рукописи и две книги. В 1682 г. напечатана таблица «Считание удобное, которым всяк человек, купующий или продающий, зело удобно изыскать может, число всякие вещи...» Это пифагорова таблица умножения от 1 до 100, напечатанная славянскими знаками, автор не указан. Язык предисловия близок к языку Магницкого.
В 1699 г. в Амстердаме напечатано сочинение Ильи Копиевского «Краткое и полезное руковедение во арифметику, или в обучение и познание всякого счёту, в сочтении всяких вещей», 71 стр. Эта книга не имела распространения, тем более что арифметике в ней уделено лишь 16 страниц, вся остальная часть занята различными изречениями и баснями. Книга И. Копиевского издана голландским купцом Я. Тессингом по заказу Петра I для распространения в России. «Опыт» издания книг за границей оказался неудачным и был оставлен. Неизбежно пришлось делать ставку на иностранные учебники. Однако русские люди очень быстро стали относиться скептически к этой литературе. В 1740 г. вышла «Арифметика» Эйлера в переводе адъюнкта Василия Евдокимовича Ададурова. Автор в своём обращении к читателю пишет: «Число арифметических книг, которые в разных государствах на свет изданы, так велико, что многим сей труд мог бы весьма ненужным казаться... Но русское юношество не может пользоваться иностранными руководствами без больших затруднений и сочинения страдают крупными недостатками». «Учебников много,— говорит Е. Войтяховский,— но в своём практическом приложении они дают много недочётов» («Практический и теоретический курс чистой математики», 1787). В дальнейшем особенно резкая нота недовольства замечается у академика С. Е. Гурьева.
Классическая литература по математике пользовалась в XVIII в. вниманием педагогической общественности. В 1703 г. были изданы таблицы логарифмов Влакка (переизданы в 1715 г.).
«Начала» Евклида переводились три раза. В 1739 г. вышел перевод переработки «Евклидовых элементов» А. Такэ, под ред. Э. Фархварсона. Этой книгой пользовались в качестве учебника в Морском корпусе. Затем Евклид был переведён в 1769 г., в 1784 г., и последнее издание повторено в 1789 г.
Педагогическая мысль XVIII в. ищет основы математических знаний и пытается разрешить вопрос о приложимости этих знаний к жизни. Чистый теоретик считается «ремесленником, художество разумеющим, а не действующим, инженером, добывающим крепости на бумаге». Практик же «на песке строил бы» («Геометрия словенски землемерие», 1708, или «Приёмы циркуля и линейки»). Рукопись этого перевода была лично просмотрена Петром I.
Иностранные авторы, наиболее последовательными представителями которых в России были X. Вольф и И. Вейдлер, выдвигали на первый план логическую тренировку ума. За математикой они признавали значение всеобъединяющего метода познания. Это течение, не отрицая приложений математики к жизни, фактически выродилось в формалистический педантизм.
Из русских математиков к нему частично примкнул Д. С. Аничков, профессор логики, метафизики и чистой математики в Московском университете.
Но и Д. С. Аничков не был слепым подражателем формалистов XVIII в. Он признавал смешанную математику прикладного характера, позволяющую исследовать явления природы. В своей «Теоретической и практической арифметике», М. 1765 (переиздавалась в 1788 и 1793 гг.), он ввёл примеры и задачи, изменил многие доказательства, сделав курс более живым и содержательным. Вольф утверждал, что «не математические правды, но порядок учения, из которого оные точно познаются, способствует ко изощрению человеческого разума». Вольфанистов менее интересовали отдельные факты, материал, жизнь. Изложение курса математики у них переходило в схоластику; Д. С. Аничков видоизменил и дополнил Вольфа и Вейдлера. Сочетание теоретического материала с прикладными задачами особенно заметно в его геометрии. Д. С. Аничков (как и школа Вольфа) — типичный идеалист. «Количество, — говорит он, — не есть неотъемлемое свойство вещей, а есть продукт внутреннего построения нашего ума».
Принципиальными противниками вольфанистов были Л. Эйлер и его ученики: С. Котельников, С. Румовский, М. Головин, В. Ададуров и Н. Фусс. Немецкое издание «Руководства арифметики» Эйлера вышло в 1738 — 1740 гг., русский перевод В. Е. Ададурова, ч. I, в 1740 г., ч. II в переводе В. Кузнецова — в 1760 г.

Методическая школа Л. Эйлера

Методическая школа Л. Эйлера резко критикует и учебники, которые удовлетворяются только правилами (догматическое изложение), и учебники, которые пытаются давать туманные доказательства. Сам Эйлер в «Руководстве к арифметике» отказывается от аксиоматического изложения; он ставит перед собой задачу дать строгое и удобопонятное изложение числовой арифметики. "Руководство" Эйлера — прототип современных учебников систематического курса арифметики.
Перед школой Эйлера стоял ряд методических задач, которые ею постепенно и разрешались.
Во-первых, необходимо было преодолеть схоластику и формализм вольфанистов и приблизить математику к изучению жизни; во-вторых, настоятельно требовалось упростить изложение, не нарушая его научности; в-третьих, следовало освободиться от тяжёлого арсенала иностранной терминологии и сделать математику доступной для народа и, наконец, в-четвёртых, положить начало созданию учебника для народных училищ, появившихся в последнюю четверть века.
Первая задача, как мы уже видели, частично разрешалась уже русскими последователями Вольфа и Вейдлера в лице Д. С. Аничкова.
Наиболее талантливым представителем школы Эйлера является ученик Магницкого Н. Г. Курганов. В «Универсальной арифметике» автор стремится дать «основательное учение, как легчайшим способом разные в обществе случающиеся, Математике принадлежащие, Арифметические, Геометрические и Алгебраические выкладки производить». Книга по образцу «Арифметики» Л. Магницкого является энциклопедией, но отличается лёгкостью и простотой изложения и хорошим литературным языком.
Автор не признавал длинных и тем более туманных доказательств, заменял их объяснениями на конкретных примерах и задачах. В его книгах появился конкретно-индуктивный метод, который потом нашёл широкое применение в школе. «Продолжительное и подробное объяснение,— говорит он,— причиняет юношеству скуку с нерачением». «Числовник» Курганова, как и «Руководство» Эйлера, является учебником систематического курса арифметики.
Книги Курганова были самыми популярными во второй половине XVIII в.
Книги С. Румовского и С. Котельникова трудны и тяжеловесны.
Первым научным курсом алгебры, по изложению приближающимся к учебникам XIX в., является книга Эйлера «Универсальная арифметика», перевод П. Иноходцева и И. Юдина, СПБ 1768—1769 (переиздана через 9 лет). Первый том излагал основные понятия алгебры, второй был посвящён уравнениям и диофантову анализу. Это был серьёзный и оригинальный труд, послуживший в дальнейшем основой для учебников алгебры. В него Эйлер ввёл формулу бинома, соединения, прогрессии, логарифмы. «Универсальная арифметика» Эйлера была переработана его учеником Н. Фуссом в учебных целях. «Начальные основания алгебры, выбранные из алгебры Леонарда Эйлера» Н. Фусса, СПБ 1798, перемещают учение об уравнении ближе к началу, сокращают раздел уравнений высших степеней, упрощают определения и терминологию. Книга Фусса методически определила направление учебников алгебры на первую половину XIX в.
Несколько сложнее обстояло дело с учебниками по геометрии. Со времени Э. Фархварсона высоко оценивается авторитет Евклида. Евклид три раза переводится (И. Сатаровым в 1739 г., Н. Кургановым в 1769 г., В. Никитиным и П. Суворовым в 1784 г.). Курс Евклида с его застывшими формами изложения не мог удовлетворить растущую педагогическую мысль. В 1748 г. выходит «Краткое руководство к теоретической геометрии» Г. В. Крафта. В этом учебнике нет системы аксиом, широко используется движение для образования фигур, много практических приложений.
Книга Крафта, отличаясь лёгкостью и простотой изложения, не даёт надлежащей строгости. В 1765 г. Н. Курганов выпускает «Генеральную геометрию», которая отличается ещё меньшей строгостью и неудовлетворительностью доказательств. Практическая геометрия С. Назарова совсем порывает связи с систематичностью изложения.
Пробел отчасти восполняется Н. Фуссом, который даёт систематическое изложение геометрии, использовав частично аксиоматику. Однако и этот учебник ещё далёк от правильного методического построения: в нём много тяжёлых определений и неудачных формулировок, неточных доказательств.
Отдельные книги по тригонометрии начали выходить лишь в последней четверти века. В 1787 г. издаётся учебник В. Никитина и П. Суворова. Эта книга составлена по устаревшим западноевропейским образцам. Автор применяет славянскую терминологию: сумма — «купа», параллельные — «минующие», гипотенуза — «подтягающая» и т. д.
Первым русским учебником тригонометрии является книга М. Е. Головина «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами», СПБ 1789. Научной канвой этого учебника являются тригонометрические исследования Эйлера; изложение аналитическое; введена современная нам символика. Книга содержит почти весь материал учебника тригонометрии XIX в. (за исключением обратных тригонометрических функций).
Таким образом, в XVIII в. в значительной степени разрешён вопрос об учебниках арифметики, алгебры и тригонометрии для средней школы, сделан тем самым шаг вперёд на пути создания русской методики математики.

Вторая половина XVIII в.; возникновение народных училищ

Дворцовый переворот вынес на историческую арену Екатерину II, которая, понимая опасность, угрожавшую дворянскому крепостническому государству, проводила мероприятия по укреплению государства и усилению власти помещиков над крепостными крестьянами.
Однако для завоевания популярности в Западной Европе Екатерина II лицемерно выступает с либерально-дворянской программой. Много говорится о воспитании, которому придаётся большое значение, о создании «новой породы людей», о «воспитании человека и гражданина», о мягкой дисциплине и т. д.
«Корень всему злу и добру — воспитание»,— говорит И. И. Бецкой. В своих сочинениях Бецкой подробно развивает воспитательную систему, причём воспитание оценивает выше обучения. Он высказывается против телесных наказаний, против перегружения памяти детей, предлагает использовать при обучении детские интересы.
По планам Бецкого был открыт ряд новых учебных заведений; училища при Академии художеств и Академии наук (1764 и 1765); институт для воспитания благородных девиц (Смольный институт, 1764) с «мещанским отделением» при нём (1765), Коммерческое училище в Москве (1772) и др.
Возникает много проектов об учреждении училищ: «План об учреждении разных училищ проф. Ф. Дильтея» (1764), проект организации государственных гимназий (1766), проект комиссии об училищах (1768).
Все проекты в основном предусматривают создание сословных школ (как для благородных, так купеческих и «других неподлого состояния людей детей»).
В проекте 1767 г., составленном «Комиссией об училищах», ставится даже вопрос о массовой начальной школе («Элементарные публичные школы для простого народа»), предполагается ввести для мальчиков начальное обязательное обучение.
Наконец, «частная комиссия об училищах и призрения требующих» составляет четыре проекта: о низших деревенских училищах, о низших городских училищах, о средних училищах и об училищах для иноверцев.
Однако весь этот поток проектов остаётся без результатов. Напуганная революционными выступлениями крестьянства и в особенности восстанием Пугачёва, Екатерина прекращает лицемерные заигрывания с французскими философами. Поворот в политике нельзя объяснить личными взглядами Екатерины, как это пытались доказывать буржуазные историки (Милюков, Сербов и др). Советские исследователи считают, что в связи с развитием денежного хозяйства и ростом фабрик в поместьях родовитой знати происходит быстрое обогащение дворянской верхушки. Возникает подражание французскому двору, развивается пышность, показное покровительство искусствам и просветительной философии.
Но по мере приближения к Французской революции просветительная философия становилась более революционной, и феодальная знать России во главе с «мудрой, благой и великой» Екатериной (такими эпитетами награждали её некоторые буржуазные историки) отвернулась от этой философии.
Бесчеловечная эксплоатация крепостных, использование крестьянского труда на мануфактурах, угнетение народов окраин России и грабёж их земель привели к крестьянской войне.
Идейно-теоретическим выражением чаяний и требований явились сочинения А. Н. Радищева, просветителя и дворянского революционера, подавшего свой голос в защиту угнетаемого крепостного крестьянства.
Восстания были жестоко подавлены. Школа рассматривается теперь как средство укрепления в населении религиозности и покорности власти. За основу взят был реакционный австрийский проект, но в него внесены существенные изменения. Отпал вопрос о сельских школах, образование для крепостных было признано вредным. Для проведения реформы школьного дела приглашён был серб Янкович де-Мириево. Организована «комиссия об учреждении народных училищ». Комиссия выработала «План к установлению народных училищ в Российской империи», который был утверждён в 1782 г. План предусматривает открытие главных (5 лет обучения) и малых (двухклассных) училищ. В русском издании австрийского проекта отвергается всеобщность и обязательность обучения в малых училищах.
В малых училищах (в уездных городах) проходится курс арифметики, в главных (в губернских городах) — вводится алгебра и геометрия.
Янкович де-Мириево в 1783 г. выпускает «Руководство учителям первого и второго классов народных училищ» устанавливающие школьный режим и методику преподавания. В главных училищах предписывается иметь собрание геометрических тел, математических и физических орудий, чертежей и моделей Обучение носит утилитарный, реалистический характер.
В 1786 г. было открыто 26 главных народных училищ, в 1788 г. ещё 14. В 1786 г. в народных училищах было 4398 учащихся; в 1800 г. число училищ увеличивается до 315 и число учащихся вырастает до 19915. Сеть народных училищ была несовершенна и ограниченна, и тем не менее она создала предпосылки для подготовки своих учёных, инженеров, архитекторов, навигаторов и других специалистов. В основу всем реформы был положен принцип «единообразия». Даже учебные планы инженерного и артиллерийского корпусов согласуются с планом народных училищ, преобразуется сухопутный шляхетский корпус и, наконец, все училища ставятся в подчинение «комиссии». «Единообразие» касается плана, методов преподавания, учебной литературы и внешнего порядка.
Из всех вопросов, стоящих перед «комиссией», самым тяжелым оказался вопрос об учебниках.
Первая учительская семинария с одногодичным курсом обучения была открыта в 1782 г. В 1783 г. её заменило главное народное училище. В 1786 г. из него выделилось самостоятельное учебное заведение для подготовки учителей.

Учебники для народных училищ

Педагоги-математики предшествующего периода всей своею деятельностью слились или с высшей школой (Аничков, Барсов), или со специальными учебными заведениями (главным образом военными). Некоторые из них в последней четверти XVIII в. уже вышли из строя (Эйлер, Ададуров), многие занялись исключительно научной и административной деятельностью (Котельников, Румовский). С учительской семинарией был наиболее тесно связан последние годы своей жизни почётный академик М. Е. Головин, занимавшийся в ней четыре года. Ему принадлежат первые учебники для народных училищ. Он составил первый учебник арифметики. В первой части излагались нумерация и действия над целыми и именованными числами, во второй — дроби, пропорции и различные «правила». Большое внимание уделялось десятичным дробям.
Большое распространение имела «Краткая арифметика» М. Меморского. Её популярности способствовала катехизическая форма изложения. Эта форма изложения помогла неопытным учителям того времени перейти от метода чтения и заучивания учебника к более сознательному усвоению путём вопросов и ответов. Через учебник М. Меморского в методику арифметики вошла беседа.
Геометрический материал был исключён из курса арифметики.
Необходим был специальный учебник геометрии. Такой учебник был издан в 1786 г. Автор учебника не указан.
Мнения исследователей относительно автора этой книги расходятся. В. В. Бобынин (Биография М. Е. Головина, журнал Математическое образование», т. I, 1912, стр. 371) и А. Воронов («Историко-статист. обозрение учебн. заведений С.-Петербургского учебного округа, 1849, стр. 28) утверждают, что автором книги является М. Е. Головин. С другой стороны, А. П. Юшкевич («Математика в школе», 1947, № 4, стр. 28—29) считает его переводом «какого-то скверного иностранного учебника».
Учебник, несомненно, интересен как отражение идей пропедевтического курса геометрии. В «Предисловии» к учебнику изложены мысли, свидетельствующие, что автор учебника — серьёзный и вдумчивый педагог: «При задачах, доказательства требующих, надлежит сначала истолковать самое предложение, потом приступить к доказательству. Причём должно напоминать ученикам, в каком случае задачу сию в общежитии употреблять можно. Если ученик сделает одну такую задачу, то задавать и больше на её применение таких, кои можно употреблять действительно в общежитии с пользою... Учитель должен объяснения свои писать на большой чёрной доске, каждую задачу исследовать по частям». В 200 страницах текста учебник содержит лишь 16 теорем, доказательства примерно те же, что и в учебниках Крафта. Широко используется идея движения как при выяснении новых понятий, так и при доказательстве теорем.
Большая часть материала учебника состоит из задач. Задачи интересны по содержанию, много внимания уделяется вопросам измерения. «Практические задачи, — говорит автор, — можно разрешить на ровном столе булавками и нитками, из которых первые заступят место кольев, а другие — цепей; притом училище должно быть снабжено употребляемыми в сей книге орудиями, как-то: астролябиею, компасом и проч., с коими учителю вместе с учениками надлежит в летнее время выходить на поле и там на деле показать решение практических задач».
Учебник на первый план ставит не логику, а интуицию и наглядность. Такой учебник не может быть переводом. По свежести и оригинальности методических концепций авторство учебника можно приписать М. Е. Головину. Этот учебник — одна из интересных книг второй половины XVIII в.
Резюмируем достижения XVIII в. в русской методике математики:
1. В связи с созданием общих и специальных учебных заведений в XVIII в. в России появились кадры блестящих русских педагогов-математиков.
2. Нарождается оригинальная учебная литература по математике, которая от типа полуэнциклопедических изданий постепенно эволюционирует к типу специализированных учебников по отдельным разделам математики и профилям школ.
3. Русские учебники по математике успешно преодолевают схоластику и формалистический педантизм вольфанизма и приближают математику к исследованию окружающей жизни.
4. Русские учебники по математике, постепенно овладевая научностью изложения, делают решительный переход от догматизма к использованию дедуктивного и индуктивного методов.
5. Остаётся не вполне разрешённым вопрос об учебнике геометрии, но в методике начального обучения геометрии имеется большой сдвиг в смысле создания пропедевтического курса геометрии для народных школ (М. Е. Головин).
6. Русскими педагогами-математиками высоко оценивается классическая литература (многократные издания Евклида).
7. Отмечается высокая эрудиция русских педагогов-математиков, знание иностранной литературы и критическое к ней отношение.
8. И в количественном отношении XVIII век даёт большое число учебников по математике (оригинальных и переводных): в первую половину века издано 30 книг, во вторую — 98 книг.
9. Проведён переход от латино-славянской терминологии в математике к современной нам терминологии.

ЛИТЕРАТУРА

1. «Из истории русской философии». Сборник статей, 1949, стр. 829.
2. Е. Н. Медынский, проф., История русской педагогики, стр. 506.
3. А. П. Юшкевич, проф., Математика и её преподавание в России, журнал «Математика в школе», 1947, № 2—5.
4. Б. М. Гнеденко, Очерки по истории математики в России, 1946.
5. Д. Д. Галанин, История методических идей по арифметике в России, ч. 1, XVIII в., 1915.
6. Его же, Леонтий Филиппович Магницкий и его арифметика, М. 1914.
7. В. В. Бобынин, проф., Очерки истории развития физико-математических знаний в России, журнал «Физико-математические науки в их прошлом и настоящем», г. I—XI, 1886—1893.
8. Его же, Элементарная геометрия и её деятели во второй половине XVIII в., журнал МНП, ноябрь, 1907, ч. XII, и январь 1908, ч. XIII.
9. Его же, Русская физико-математическая библиография, т. I, 1886—1890; г. II, 1889—1895 и г. III, 1900.
10. С. В. Рождественский, Очерки по истории систем народного просвещения в России в XVIII—XIX вв., 1912.
11. А. Воронов, Историко-статистическое обозрение учебных заведений С.-Петербургского учебного округа с 1715 по 1728 г. включительно, 1849.

продолжение книги...